تكوين الصور بالمرايا المحدبة

المرآة الكرية المحدبة هي جزء من كرة، يعكس الأشعة من السطح الخارجي كما هو موضع في الشكل (1 ب)، حيث نرى كيف تنعكس الأشعة المتوازية من على تلك المرآة. وتبدو الأشعة كما لو كانت متفرقة من نقطة تقع خلف المرآة. تنعكس الأشعة الساقطة على مرآة محدبة وموازية لمحورها الرئيسي، كما لو كانت قادمة من النقطة البؤرية. ولكي نبرهن على ذلك فإننا نسلك نفس الطريق كما فعلنا مع المرآة المقعرة.

الشكل 1)): (أ) يتجمع الضوء المنعكس للأشعة المتوازية الساقطة على مرآة مقعرة عن البؤرة F أمام المرآة ، (ب) أما الأشعة المتوازية الساقطة فتنعكس من على مرآة محدبة بحيث تبدو متفرقة من نقطة البؤرة F خلف المرآة.

بالرجوع إلى الشكل (2) فإننا نلاحظ من قانون الانعكاس ومن هندسة الشكل أن عدة زوايا متساوية فيما بينها. والمثلث AFC متساوي الساقين وهكذا فإن AF = FC، فإذا كان الضلع AB صغيراً بالمقارنة مع نصف قطر انحناء المرآة فإن AF يساوي بالتقريب BF. ومن ثم يكون BF مساوياً تقريباً FC وهنا أيضاً يكون البعد البؤري في منتصف المسافة بين المرآة ومركز انحنائها.

الشكل 2)): ينعكس الشعاع الساقط موازياً للمحور كما لو كان قادماً من النقطة البؤرية للمرآة المحدبة.

الشكل 3)): ان عليك أن تكون قادراً على رسم الأشعة الثلاثة في أية حالة بها مرآة محدبة.

نستطيع بناء على ذلك ــ أن نكتب القواعد اللازمة لرسم الأشعة الثلاثة الخاصة بالنسبة لمرآة محدبة:

1ـ ينعكس الشعاع الموازي للمحور كما لو كان قادماً من النقطة البؤرية(أو البؤرة).

2- ينعكس الشعاع المتجه نحو مركز انحناء المرآة مرتداً على نفسه.

3- ينعكس الشعاع المتجه نحو مركز انحناء المرآة مرتداً على نفسه.

ويوضح الشكل 3)) هذه الأشعة الثلاث وعليك تبعها لتتأكد من انها تتفق مع هذه القواعد. يلاحظ أن الأشعة الثلاثة المنعكسة تبدو كما لو كانت قادمة من الصورة I خلف المرآة. وكما نرى فالصورة تقديرية، معتدلة ومصغرة.

إذا رجعنا إلى الشكل 4)) لاستطعنا أن نحصل على العلاقات الجبرية المستخدمة في تحديد موقع الصورة بالنسبة للمرآة المحدبة. وعليك إثبات أن المثلث ABH يشبه المثلث EBD في الجزء(أ). وان المثلث IFG يشبه المثلث EFD في الجزء(ب). فإذا ثبت أن هذا صحيح لأمكننا ان نوجد المعادلات التالية مثلما حدث في معادلة المرآة المقعرة:

وقد اعتبرنا المسافة BG مهملة جداً لصغرها، عند كتابة هذه المعادلات.

بمساواة هاتين المعادلتين وأخذ المقلوب ثم القسمة على i وإعادة ترتيب الحدود نحصل على ما يلي:                            

يلاحظ أنه ــ بغض النظر عن الإشارات ـ فالمعادلة هي نفسها للمرآة المقعرة وينبهنا اختلاف الإشارات إلى حقيقة أن الصورة في هذه الحالة تقع خلف المرآة، وليس أمامها. وإضافة إلى ذلك فإن الحد المشتمل على البعد البؤري السالب هو نتيجة إلى أن المرآة محدبة ليست مقعرة.

الشكل 4)): المثلثان ABH و EBD متشابهان وكذلك المثلثان EFD و JGF وقد افترضنا أن المسافة FG مساوية بالضرورة للمسافة FB.

يمكننا أن نضع قواعد تسمح لنا باستخدام المعادلة 1)) بالنسبة للمرايا المحدبة أيضاً، بدلاً من تذكر معادلتي المرآتين. وإذا اتفقنا على أن نجعل بعد الصورة الواقعة خلف المرآة، أي بعد الصورة التقديرية، سالباً دائماً، لأمكننا أن نحذف الإشارة السالبة من الحد المشتمل على i في معادلة المرآة المحدبة. وعلاوة على ذلك، إذا جعلنا البعد البؤري للمرآة المحدبة سالباً دائماً لأمكننا أن نحذف الإشارة السالبة الأخرى أيضاً. ونستطيع ــ من ثم ــ أن نكتب ما يلي لجميع المرايا:

(1)                      

حيث تم الاتفاق على :

1ـ يكون بعد الجسم موجباً إذا وقع الجسم أمام المرآة وسالباً في أي وضع آخر.

2- يكون بعد الصورة موجباً إذا وقعت الصورة أمام المرآة (صورة حقيقية) وسالباً فيما عدا ذلك (صورة تقديرية).

3- يكون البعد البؤري موجباً بالنسبة لمرآة مقعرة وسالباً لمرآة محدبة.

ونستطيع أن نتوسع في استخدام قاعدة الإشارات لتحديد ما إذا  كانت الصورة معتدلة أم مقلوبة بالنسبة للجسم. وسنكتب معادلة التكبير بإشارة سالبة:

(2)             

وليس للإشارة الاختيارية التي وضعناها أما التكبير أي علاقة بالأحجام النسبية للجسم والصورة، وإن كنا نستطيع أن نستخدمها لتحدد لنا ما إذا كانت الصورة معتدلة أو مقلوبة. ونلاحظ من الأمثلة السابقة أنه عندما تكون الصورة حقيقية فإنها تكون مقلوبة أيضاً ويكون بعد الصورة i موجباً. وبما أن كلاً من P و i موجبان فإن النسبة M = -i/p تكون سالبة. أما إذا كانت الصورة تقديرية فإنها تكون معتدلة ويكون البعد i سالباً وهذا يجعل النسبة M = -i/p موجبة. دعنا الآن نلخص هذه المعلومة فيما يلي:

إذا كان التكبير موجباً فالصورة معتدلة بالنسبة للجسم، وإذا كان M سالباً فالصورة مقلوبة.