المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
{ان أولى الناس بإبراهيم للذين اتبعوه}
2024-10-31
{ما كان إبراهيم يهوديا ولا نصرانيا}
2024-10-31
أكان إبراهيم يهوديا او نصرانيا
2024-10-31
{ قل يا اهل الكتاب تعالوا الى كلمة سواء بيننا وبينكم الا نعبد الا الله}
2024-10-31
المباهلة
2024-10-31
التضاريس في الوطن العربي
2024-10-31


Symmetric LQ Method  
  
893   05:01 مساءً   date: 1-12-2021
Author : Barrett, R.; Berry, M.; Chan, T. F.; Demmel, J.; Donato, J.; Dongarra, J.; Eijkhout, V.; Pozo, R.; Romine, C.; and van der Vorst, H.
Book or Source : Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd ed. Philadelphia, PA: SIAM, 1994....
Page and Part : ...


Read More
Date: 21-8-2021 1380
Date: 24-9-2021 824
Date: 23-11-2021 898

Symmetric LQ Method

The conjugate gradient method can be viewed as a special variant of the Lanczos method for positive definite symmetric systems. The minimal residual method and symmetric LQ method (SYMMLQ) are variants that can be applied to symmetric indefinite systems.

The vector sequences in the conjugate gradient method correspond to a factorization of a tridiagonal matrix similar to the coefficient matrix. Therefore, a breakdown of the algorithm can occur corresponding to a zero pivot if the matrix is indefinite. Furthermore, for indefinite matrices the minimization property of the conjugate gradient method is no longer well-defined. The MINRES and SYMMLQ methods are variants of the CG method that avoid the LU decomposition and do not suffer from breakdown. SYMMLQ solves the projected system, but does not minimize anything (it keeps the residual orthogonal to all previous ones).

When A is not positive definite, but symmetric, we can still construct an orthogonal basis for the Krylov subspace by three-term recurrence relations. Eliminating the search directions in the equations of the conjugate gradient method gives a recurrence

 Ar^((i))=r^((i+1))t_(i+1,i)+r^((i))t_(i,i)+r^((i-1))t_(i-1,i),

(1)

which can be written in matrix form as

 AR_i=R_(i+1)T^__i,

(2)

where T^__i is an (i+1)×i tridiagonal matrix.

In this case we have the problem that (·,·)_(A) no longer defines an inner product. However we can still try to minimize the residual in the 2-norm by obtaining

 x^((i)) in {r^((0)),Ar^((0)),...,A^(i-1)r^((0))},    x^((i))=R_iy^_

(3)

that minimizes

|Ax^((i))-b|_2 = |AR_iy^_-b|_2

(4)

= |R_(i+1)T^__iy-b|_2.

(5)

Now we exploit the fact that if

 D_(i+1)=diag(|r^((0))|_2,|r^((1))|_2,...,|r^((i))|_2),

(6)

then R_(i+1)D_(i+1)^(-1) is an orthonormal transformation with respect to the current Krylov subspace:

 |Ax^((i))-b|_2=|D_(i+1)T^__iy-|r^((0))|_2e^((1))|_2,

(7)

and this final expression can simply be seen as a minimum norm least squares problem.

One approach is to solve the system T_iy=|r^((0))|_2e^((1)), as in the conjugate gradient method (T_i is the upper i×i part of T^__i). However, other than in the conjugate gradient method, we cannot rely on the existence of a Cholesky decomposition (since A is not positive definite). An alternative is then to decompose T_i by an LQ decomposition. This leads to simple recurrences and the resulting method is known as SYMMLQ (Paige and Saunders 1975).


REFERENCES:

Barrett, R.; Berry, M.; Chan, T. F.; Demmel, J.; Donato, J.; Dongarra, J.; Eijkhout, V.; Pozo, R.; Romine, C.; and van der Vorst, H. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd ed. Philadelphia, PA: SIAM, 1994. http://www.netlib.org/linalg/html_templates/Templates.html.

Paige, C.; Parlett, B.; and van der Vorst, H. "Approximate Solutions and Eigenvalue Bounds from Krylov Subspaces." Numer. Lin. Alg. Appl. 29, 115-134, 1995.

Paige, C. and Saunders, M. "Solution of Sparse Indefinite Systems of Linear Equations." SIAM J. Numer. Anal. 12, 617-629, 1975.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.