المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية

العَرَب قبلَ الإسلام
30-3-2017
قالب الهرم المقلوب (المعكوس)
2-1-2023
تجفيف الخضر والفاكهة
11-9-2016
التعريف بحقوق الشخصية
10-5-2016
الة الحصاد والدراس الجامعة (الكومباين)
22-2-2018
Cytochrome P450
30-12-2015

Figure Eight Knot  
  
2218   04:31 مساءً   date: 5-6-2021
Author : Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H.
Book or Source : Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.
Page and Part : ...


Read More
Date: 21-7-2021 1103
Date: 22-7-2021 2342
Date: 24-5-2021 1488

Figure Eight Knot

 

FigureEightKnot FigureEightKnot3D

The figure eight knot, also known as the Flemish knot and savoy knot, is the unique prime knot of four crossings 04-001. It has braid word sigma_1sigma_2^(-1)sigma_1sigma_2^(-1).

The figure eight knot is implemented in the Wolfram Language as KnotData["FigureEight"].

It is a 2-embeddable knot, and is amphichiral as well as invertible. It has Arf invariant 1. It is not a slice knot (Rolfsen 1976, p. 224).

The Alexander polynomial Delta(x), BLM/Ho polynomial Q(x), Conway polynomial del (x), HOMFLY polynomial P(l,m), Jones polynomial V(t), and Kauffman polynomial F F(a,z) of the figure eight knot are

Delta(x) = -x^(-1)+3-x

(1)

Q(x) = 2x^3+4x^2-2x-3

(2)

del (x) = 1-x^2

(3)

P(l,m) = m^2-(l^2+1/(l^2)+1)

(4)

V(t) = t^2-t+1-t^(-1)+t^(-2)

(5)

F(a,z) = (1+a^(-1))z^3+(a^2+2+a^(-2))z^2-(a+a^(-1))z-(a^2+1+a^(-2)).

(6)

There are no other knots on 10 or fewer crossings sharing the same Alexander polynomial, BLM/Ho polynomial, bracket polynomial, HOMFLY polynomial, Jones polynomial, or Kauffman polynomial F.

The figure eight knot has knot group

 <x,y|x^(-1)yxy^(-1)xy=yx^(-1)yx>

(7)

(Rolfsen 1976, p. 58).

Helaman Ferguson's sculpture "Figure-Eight Complement II" illustrates the knot complement of the figure eight knot (Borwein and Bailey 2003, pp. 54-55, color plate IV, and front cover; Bailey et al. 2007, p. 37). Furthermore, Ferguson has carved the BBP-type formula for the hyperbolic volume of the knot complement (discussed below) on both figure eight knot complement sculptures commissioned by the Clay Mathematics Institute (Borwein and Bailey 2003, p. 56; Bailey et al. 2007, pp. 36-38).

The hyperbolic volume of the knot complement of the figure eight knot is approximately given by

 V=2.0298832...

(8)

(OEIS A091518). Exact expressions are given by the infinite sums

V = 2sqrt(2)sum_(k=1)^(infty)(psi_0(2k)-psi_0(k))/(k(2k; k))

(9)

= sum_(k=1)^(infty)(2sin(1/3kpi))/(k^3)

(10)

= 2sum_(k=0)^(infty)((2k; k))/(16^k(2k+1)^2)

(11)

= (2pi)/3[1-ln(pi/3)+sum_(k=1)^(infty)(zeta(2k))/(k(2k+1)6^(2k))]

(12)

= 1/2sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)(H_(k+1/2)-H_k+2ln2)/((2k; k)(2k+1)),

(13)

where H_n is a harmonic number.

V has a variety of BBP-type formulas including

V = sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)[1/((3k+1)^2)-2/((3k+2)^2)+4/((3k+3)^2)]

(14)

= (3sqrt(3))/2sum_(k=0)^(infty)[1/((3k+1)^2)-1/((3k+2)^2)]

(15)

= sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)[1/((6k+1)^2)+1/((6k+2)^2)-1/((6k+4)^2)-1/((6k+5)^2)]

(16)

= sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)[2/((6k+1)^2)-3/((6k+2)^2)-1/((6k+5)^2)]

(17)

= sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)[1/((6k+1)^2)+3/((6k+4)^2)-2/((6k+5)^2)],

(18)

with additional identities for coefficients of k of the form 3l (E. W. Weisstein, Sep. 30, 2007). Higher-order identities are

 V=(2sqrt(3))/(243)sum_(k=0)^infty1/(729^k)[(243)/((12k+1)^2)-(243)/((12k+2)^2)-(324)/((12k+3)^2)-(81)/((12k+4)^2)+(27)/((12k+5)^2)-9/((12k+7)^2)+9/((12k+8)^2) 
+(12)/((12k+9)^2)+3/((12k+10)^2)-1/((12k+11)^2)] 
=(2sqrt(3))/(177147)sum_(k=0)^infty1/(531441^k)[(177147)/((24k+1)^2)-(177147)/((24k+2)^2)-(236196)/((24k+3)^2)-(59049)/((24k+4)^2)+(19683)/((24k+5)^2)-(6561)/((24k+7)^2)+(6561)/((24k+8)^2)+(8748)/((24k+9)^2)+(2187)/((24k+10)^2)-(729)/((24k+11)^2)+(243)/((24k+13)^2)-(243)/((24k+14)^2)-(324)/((24k+15)^2)-(81)/((24k+16)^2)+(27)/((24k+17)^2)-9/((24k+19)^2)+9/((24k+20)^2)+(12)/((24k+21)^2)+3/((24k+22)^2) 
-1/((24k+23)^2)]

(19)

(E. W. Weisstein, Aug. 11, 2008).

Additional classes of identities are given by

V = sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/((3k+1)^2)+1/((3k+2)^2)]

(20)

= sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/((9k+1)^2)+1/((9k+2)^2)-1/((9k+4)^2)-1/((9k+5)^2)+1/((9k+7)^2)+1/((9k+8)^2)],

(21)

with additional identities for coefficients of k of the form 6l+3 (E. W. Weisstein, Sep. 30, 2007). Another BBP-type formula is given by

V = (2sqrt(3))/9sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(27^k)[9/((6k+1)^2)-9/((6k+2)^2)-(12)/((6k+3)^2)-3/((6k+4)^2)+1/((6k+5)^2)].

(22)

V is also given by the integrals

V = -2int_0^1(lny)/(sqrt(1-(1/2y)^2))dy

(23)

= -sqrt(3)int_0^1(lny)/(1-y+y^2)dy

(24)

= 2sqrt(3)int_0^(1/2)((1+s)ln(1+s)-(1-s)ln(1-s))/((1-s^2)sqrt(1-4s^2))ds,

(25)

and the analytic expressions

V = 2_3F_2(1/2,1/2,1/2;3/2,3/2;1/4)

(26)

= 1/6sqrt(3)[psi_1(1/3)-psi_1(2/3)]

(27)

= 1/9sqrt(3)[3psi_1(1/3)-2pi^2]

(28)

= 1/(36)sqrt(3)[psi_1(1/6)+psi_1(1/3)-psi_1(2/3)-psi_1(5/6)]

(29)

= i[Li_2(e^(-ipi/3))-Li_2(e^(ipi/3))]

(30)

= 2I[Li_2(e^(ipi/3))]

(31)

= 2Cl_2(1/3pi)

(32)

= 3Cl_2(2/3pi),

(33)

(Broadhurst 1998; Borwein and Bailey 2003, pp. 54 and 88-92; Bailey et al. 2007, pp. 36-38 and 265-266), where _3F_2(a,b,c;d,e;z) is a generalized hypergeometric function, psi_1(z) is the trigamma function, Li_2(z) is the dilogarithm and Cl_2(x) is Clausen's integral.


REFERENCES:

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.

Bar-Natan, D. "The Knot 4_1." https://www.math.toronto.edu/~drorbn/KAtlas/Knots/4.1.html.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Broadhurst, D. J. "Massive 3-Loop Feynman Diagrams Reducible to SC^* Primitives of Algebras of the Sixth Root of Unity." March 11, 1998. https://arxiv.org/abs/hep-th/9803091.

Francis, G. K. A Topological Picture Book. New York: Springer-Verlag, 1987.

Kauffman, L. Knots and Physics. Teaneck, NJ: World Scientific, pp. 8, 12, and 35, 1991.

KnotPlot. "4_1." https://newweb.cecm.sfu.ca/cgi-bin/KnotPlot/KnotServer/kserver?ncomp=1&ncross=4&id=1.

Livingston, C. Knot Theory. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 21 and 153, 1993.

Owen, P. Knots. Philadelphia, PA: Courage, p. 16, 1993.

Rolfsen, D. Knots and Links. Wilmington, DE: Publish or Perish Press, pp. 58 and 224, 1976.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Middlesex, England: Penguin Books, pp. 78-79, 1991.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.