المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
أنـواع اتـجاهـات المـستهـلك
2024-11-28
المحرر العلمي
2024-11-28
المحرر في الصحافة المتخصصة
2024-11-28
مـراحل تكويـن اتجاهات المـستهـلك
2024-11-28
عوامـل تكويـن اتـجاهات المـستهـلك
2024-11-28
وسـائـل قـيـاس اتـجاهـات المستهلـك
2024-11-28


Gamma Distribution  
  
1111   03:32 مساءً   date: 6-4-2021
Author : Beyer, W. H.
Book or Source : CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press
Page and Part : ...


Read More
Date: 10-2-2021 1458
Date: 11-3-2021 1889
Date: 25-4-2021 1425

Gamma Distribution

GammaDistribution

A gamma distribution is a general type of statistical distribution that is related to the beta distribution and arises naturally in processes for which the waiting times between Poisson distributed events are relevant. Gamma distributions have two free parameters, labeled alpha and theta, a few of which are illustrated above.

Consider the distribution function D(x) of waiting times until the hth Poisson event given a Poisson distribution with a rate of change lambda,

D(x) = P(X<=x)

(1)

= 1-P(X>x)

(2)

= 1-sum_(k=0)^(h-1)((lambdax)^ke^(-lambdax))/(k!)

(3)

= 1-e^(-lambdax)sum_(k=0)^(h-1)((lambdax)^k)/(k!)

(4)

= 1-(Gamma(h,xlambda))/(Gamma(h))

(5)

for x in [0,infty), where Gamma(x) is a complete gamma function, and Gamma(a,x) an incomplete gamma function. With h an integer, this distribution is a special case known as the Erlang distribution.

The corresponding probability function P(x) of waiting times until the hth Poisson event is then obtained by differentiating D(x),

P(x) =

(6)

= lambdae^(-lambdax)sum_(k=0)^(h-1)((lambdax)^k)/(k!)-e^(-lambdax)sum_(k=0)^(h-1)(k(lambdax)^(k-1)lambda)/(k!)

(7)

= lambdae^(-lambdax)+lambdae^(-lambdax)sum_(k=1)^(h-1)((lambdax)^k)/(k!)-e^(-lambdax)sum_(k=1)^(h-1)(k(lambdax)^(k-1)lambda)/(k!)

(8)

= lambdae^(-lambdax)-lambdae^(-lambdax)sum_(k=1)^(h-1)[(k(lambdax)^(k-1))/(k!)-((lambdax)^k)/(k!)]

(9)

= lambdae^(-lambdax){1-sum_(k=1)^(h-1)[((lambdax)^(k-1))/((k-1)!)-((lambdax)^k)/(k!)]}

(10)

= lambdae^(-lambdax){1-[1-((lambdax)^(h-1))/((h-1)!)]}

(11)

= (lambda(lambdax)^(h-1))/((h-1)!)e^(-lambdax).

(12)

Now let alpha=h (not necessarily an integer) and define theta=1/lambda to be the time between changes. Then the above equation can be written

 P(x)=(x^(alpha-1)e^(-x/theta))/(Gamma(alpha)theta^alpha)

(13)

for x in [0,infty). This is the probability function for the gamma distribution, and the corresponding distribution function is

 D(x)=P(alpha,x/theta),

(14)

where P(a,z) is a regularized gamma function.

It is implemented in the Wolfram Language as the function GammaDistribution[alphatheta].

The characteristic function describing this distribution is

phi(t) = F_x{(x^(-x/theta)x^(alpha-1))/(Gamma(alpha)theta^alpha)[1/2(1+sgnx)]}(t)

(15)

= (1-ittheta)^(-alpha),

(16)

where F_x[f](t) is the Fourier transform with parameters a=b=1, and the moment-generating function is

M(t) = int_0^infty(e^(tx)x^(alpha-1)e^(-x/theta)dx)/(Gamma(alpha)theta^alpha)

(17)

= int_0^infty(x^(alpha-1)e^(-(1-thetat)x/theta)dx)/(Gamma(alpha)theta^alpha).

(18)

giving moments about 0 of

(19)

(Papoulis 1984, p. 147).

In order to explicitly find the moments of the distribution using the moment-generating function, let

y = ((1-thetat)x)/theta

(20)

dy = (1-thetat)/thetadx,

(21)

so

M(t) = int_0^infty((thetay)/(1-thetat))^(alpha-1)(e^(-y))/(Gamma(alpha)theta^alpha)(thetady)/(1-thetat)

(22)

= 1/((1-thetat)^alphaGamma(alpha))int_0^inftyy^(alpha-1)e^(-y)dy

(23)

= 1/((1-thetat)^alpha),

(24)

giving the logarithmic moment-generating function as

R(t) = -alphaln(1-thetat)

(25)

= (alphatheta)/(1-thetat)

(26)

= (alphatheta^2)/((1-thetat)^2).

(27)

The mean, variance, skewness, and kurtosis excess are then

mu = alphatheta

(28)

sigma^2 = alphatheta^2

(29)

gamma_1 = 2/(sqrt(alpha))

(30)

gamma_2 = 6/alpha.

(31)

The gamma distribution is closely related to other statistical distributions. If X_1X_2, ..., X_n are independent random variates with a gamma distribution having parameters (alpha_1,theta)(alpha_2,theta), ..., (alpha_n,theta), then sum_(i=1)^(n)X_i is distributed as gamma with parameters

alpha = sum_(i=1)^(n)alpha_i

(32)

theta = theta.

(33)

Also, if X_1 and X_2 are independent random variates with a gamma distribution having parameters (alpha_1,theta) and (alpha_2,theta), then X_1/(X_1+X_2) is a beta distribution variate with parameters (alpha_1,alpha_2). Both can be derived as follows.

 P(x_1,x_2)=1/(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2))e^(x_1+x_2)x_1^(alpha_1-1)x_2^(alpha_2-1).

(34)

Let

 u=x_1+x_2    x_1=uv

(35)

 v=(x_1)/(x_1+x_2)    x_2=u(1-v),

(36)

then the Jacobian is

 J((x_1,x_2)/(u,v))=|v u; 1-v -u|=-u,

(37)

so

 g(u,v)dudv=f(x,y)dxdy=f(x,y)ududv.

(38)

g(u,v) = u/(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2))e^(-u)(uv)^(alpha_1-1)u^(alpha_2-1)(1-v)^(alpha_2-1)

(39)

= 1/(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2))e^(-u)u^(alpha_1+alpha_2-1)v^(alpha_1-1)(1-v)^(alpha_2-1).

(40)

The sum X_1+X_2 therefore has the distribution

 f(u)=f(x_1+x_2)=int_0^1g(u,v)dv=(e^(-u)u^(alpha_1+alpha_2-1))/(Gamma(alpha_1+alpha_2)),

(41)

which is a gamma distribution, and the ratio X_1/(X_1+X_2) has the distribution

h(v) = h((x_1)/(x_1+x_2))

(42)

= int_0^inftyg(u,v)du

(43)

= (v^(alpha_1-1)(1-v)^(alpha_2-1))/(B(alpha_1,alpha_2)),

(44)

where B is the beta function, which is a beta distribution.

If X and Y are gamma variates with parameters alpha_1 and alpha_2, the X/Y is a variate with a beta prime distribution with parameters alpha_1 and alpha_2. Let

 u=x+y    v=x/y,

(45)

then the Jacobian is

 J((u,v)/(x,y))=|1 1; 1/y -x/(y^2)|=-(x+y)/(y^2)=-((1+v)^2)/u,

(46)

so

 dxdy=u/((1+v)^2)dudv

(47)

g(u,v) = 1/(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2))e^(-u)((uv)/(1+v))^(alpha_1-1)(u/(1+v))^(alpha_2-1)u/((1+v)^2)

(48)

= 1/(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2))e^(-u)u^(alpha_1+alpha_2-1)v^(alpha_1-1)(1+v)^(-alpha_1-alpha_2).

(49)

The ratio X/Y therefore has the distribution

 h(v)=int_0^inftyg(u,v)du=(v^(alpha_1-1)(1+v)^(-alpha_1-alpha_2))/(B(alpha_1,alpha_2)),

(50)

which is a beta prime distribution with parameters (alpha_1,alpha_2).

The "standard form" of the gamma distribution is given by letting y=x/theta, so dy=dx/theta and

P(y)dy = (x^(alpha-1)e^(-x/theta))/(Gamma(alpha)theta^alpha)dx

(51)

= ((thetay)^(alpha-1)e^(-y))/(Gamma(alpha)theta^alpha)(thetady)

(52)

= (y^(alpha-1)e^(-y))/(Gamma(alpha))dy,

(53)

so the moments about 0 are

nu_r = 1/(Gamma(alpha))int_0^inftye^(-x)x^(alpha-1+r)dx

(54)

= (Gamma(alpha+r))/(Gamma(alpha))

(55)

= (alpha)_r,

(56)

where (alpha)_r is the Pochhammer symbol. The moments about mu=mu_1 are then

mu_1 = alpha

(57)

mu_2 = alpha

(58)

mu_3 = 2alpha

(59)

mu_4 = 3alpha^2+6alpha.

(60)

The moment-generating function is

 M(t)=1/((1-t)^alpha),

(61)

and the cumulant-generating function is

 K(t)=alphaln(1-t)=alpha(t+1/2t^2+1/3t^3+...),

(62)

so the cumulants are

 kappa_r=alphaGamma(r).

(63)

If X is a normal variate with mean mu and standard deviation sigma, then

 Y=((X-mu)^2)/(2sigma^2)

(64)

is a standard gamma variate with parameter alpha=1/2.


REFERENCES:

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 534, 1987.

Jambunathan, M. V. "Some Properties of Beta and Gamma Distributions." Ann. Math. Stat. 25, 401-405, 1954.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 103-104, 1984.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.