المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
اقليم الغابات المعتدلة الدافئة
2024-11-05
ماشية اللحم في كازاخستان (النوع كازاك ذو الرأس البيضاء)
2024-11-05
الانفاق من طيبات الكسب
2024-11-05
امين صادق واخر خائن منحط
2024-11-05
اماني اليهود بدخول الجنة
2024-11-05
امامة إبراهيم اقترنت بكلمات
2024-11-05


Pochhammer Symbol  
  
1936   05:18 مساءً   date: 18-8-2019
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.
Page and Part : ...


Read More
Date: 25-8-2018 2525
Date: 7-9-2019 2299
Date: 17-9-2018 1622

Pochhammer Symbol

PochhammerSymbol

The Pochhammer symbol

(x)_n = (Gamma(x+n))/(Gamma(x))

(1)

= x(x+1)...(x+n-1)

(2)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 256; Spanier 1987; Koepf 1998, p. 5) for n>=0 is an unfortunate notation used in the theory of special functions for the rising factorial, also known as the rising factorial power (Graham et al. 1994, p. 48) or ascending Factorial (Boros and Moll 2004, p. 16). The Pochhammer symbol is implemented in the Wolfram Language as Pochhammer[xn].

In combinatorics, the notation x^((n)) (Roman 1984, p. 5), <x>_n (Comtet 1974, p. 6), or x^(n^_) (Graham et al. 1994, p. 48) is used for the rising factorial, while (x)_n or x^(n__) denotes the falling factorial (Graham et al. 1994, p. 48). Extreme caution is therefore needed in interpreting the notations (x)_n and x^((n)).

The first few values of (x)_n for nonnegative integers n are

(x)_0 = 1

(3)

(x)_1 = x

(4)

(x)_2 = x^2+x

(5)

(x)_3 = x^3+3x^2+2x

(6)

(x)_4 = x^4+6x^3+11x^2+6x

(7)

(OEIS A054654).

In closed form, (x)_n can be written

 (x)_n=sum_(k=0)^n(-1)^(n-k)s(n,k)x^k,

(8)

where s(n,k) is a Stirling number of the first kind.

The Pochhammer symbol satisfies

 (-x)_n=(-1)^n(x-n+1)_n,

(9)

the dimidiation formulas

(x)_(2n) = 2^(2n)(x/2)_n((1+x)/2)_n

(10)

(x)_(2n+1) = 2^(2n+1)(x/2)_(n+1)((1+x)/2)_n,

(11)

and the duplications formula

 (2x)_n={2^n(x)_(n/2)(x+1/2)_(n/2)   for n even; 2^n(x)_((n+1)/2)(x+1/2)_((n-1)/2)   for n odd

(12)

(Boros and Moll 2004, p. 17).

A ratio of Pochhammer symbols is given in closed form by

 ((x)_n)/((x)_m)={(x+m)_(n-m)   if n>=m; 1/((x+n)_(m-n))   if n<=m

(13)

(Boros and Moll 2004, p. 17).

The derivative is given by

 d/(dx)(x)_n=(x)_n[psi_0(n+x)-psi_0(x)],

(14)

where psi_0(x) is the digamma function.

Special values include

(1)_n = n!

(15)

(1/2)_n = ((2n-1)!!)/(2^n).

(16)

The Pochhammer symbol (x)_n obeys the transformation due to Euler

 sum_(n=0)^infty((a)_n)/(n!)a_nz^n=(1-z)^(-a)sum_(n=0)^infty((a)_n)/(n!)Delta^na_0(z/(1-z))^n,

(17)

where Delta is the forward difference and

 Delta^ka_0=sum_(m=0)^k(-1)^m(k; m)a_(k-m)

(18)

(Nørlund 1955).

The sum of 1/(k)_p can be done in closed form as

 sum_(k=1)^n1/((k)_p)=1/((p-1)Gamma(p))-(nGamma(n))/((p-1)Gamma(n+p))

(19)

for p>1.

PochhammerProductCurve

Consider the product

f(z) = lim_(k->infty)product_(i=0)^(k)(z+i/k)

(20)

= lim_(k->infty)(1/k)^(k+1)(kz)_(k+1).

(21)

This function converges to 0, to a finite value, or diverges, depending on the value of z. The critical curve is given by the implicit equation

 R[-1+ln(z^(-z)(1+z)^(1+z))]=0.

(22)

Inside this curve, the function converges to 0, whereas outside it, it diverges. The maximum real value at which convergence occurs is given by x_+=0.54221... (OEIS A090462), and the minimum value by x_-=-(1+x_+). The extremal values of yare given by y_+/-=+/-0.95883... (OEIS A090463). On the critical contour, f(z) takes on the value

 f(z)=1/2[lnz+ln(z+1)].

(23)

PochhammerProductSurface

Plotting a suitably scaled version of f(z) with k finite shows beautiful and subtle structures such as those illustrated above for k=100 (M. Trott, pers. comm., Dec. 1, 2003).

PochhammerProductSinArg

Another beautiful visualization plots sin(arg(f(z))), as illustrated above for k=2048 (M. Trott, pers. comm., Dec. 2, 2003).


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.

Boros, G. and Moll, V. Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2004.

Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, p. 52, 1981.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.

Nørlund, N. E. "Hypergeometric Functions." Acta Math. 94, 289-349, 1955.

Roman, S. The Umbral Calculus. New York: Academic Press, p. 5, 1984.

Sloane, N. J. A. Sequences A054654, A090462, and A090463 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Pochhammer Polynomials (x)_n." Ch. 18 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 149-165, 1987.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.