المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05
نـسـب الإنـتاجـيـة والغـرض مـنها
2024-11-05
المـقيـاس الكـلـي للإنتاجـيـة
2024-11-05
الإدارة بـمؤشـرات الإنـتاجـيـة (مـبادئ الإنـتـاجـيـة)
2024-11-05
زكاة الفطرة
2024-11-05

Synthetic Division
21-11-2019
أشكال الجزيئات لبعض العناصر
2023-07-20
الدورات الجنسية الشاذة Parasexual Cycle
8-7-2019
الوصف عند البارودي
2-10-2019
Goffinet Dragon
18-9-2021
مفهوم الشـريك في الفقـه الاسـلامي
29-3-2016

Complete Elliptic Integral of the First Kind  
  
2676   02:00 صباحاً   date: 25-4-2019
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.
Page and Part : ...


Read More
Date: 6-8-2019 2723
Date: 24-3-2019 3219
Date: 18-6-2019 1312

Complete Elliptic Integral of the First Kind
EllipticKEllipticKReImEllipticKContours

The complete elliptic integral of the first kind K(k), illustrated above as a function of the elliptic modulus k, is defined by

K(k) = F(1/2pi,k)

(1)

= pi/2sum_(n=0)^(infty)[((2n-1)!!)/((2n)!!)]^2k^(2n)

(2)

= 1/2pi_2F_1(1/2,1/2;1;k^2)

(3)

where F(phi,k) is the incomplete elliptic integral of the first kind and  is the hypergeometric function.

It is implemented in the Wolfram Language as EllipticK[m], where m=k^2 is the parameter.

It satisfies the identity

 pi/(2sqrt(1-k^2))P_(-1/2)((1+k^2)/(1-k^2))=1/(sqrt(1-k^2))K(sqrt((k^2)/(k^2-1))),

(4)

where P_n(x) is a Legendre polynomial. This simplifies to

 pi/(2sqrt(1-k^2))P_(-1/2)((1+k^2)/(1-k^2))=K(k)

(5)

for all complex values of k except possibly for real k with |k|>1.

In addition, K(k) satisfies the identity

(6)

where  is the complementary modulus. Amazingly, this reduces to the beautiful form

(7)

for 0<k<=1/sqrt(2) (Watson 1908, 1939).

K(k) can be computed in closed form for special values of k=k_n, where k_n is a called an elliptic integral singular value. Other special values include

K(-iinfty) = 0

(8)

K(-infty) = 0

(9)

K(0) = 1/2pi

(10)

K(infty) = 0

(11)

K(iinfty) = 0.

(12)

K(ik) satisfies

 K(ik)=1/(sqrt(k^2+1))K(sqrt((k^2)/(k^2+1)))

(13)

possibly modulo issues of sqrt(k^2), which can be derived from equation 17.4.17 in Abramowitz and Stegun (1972, p. 593).

K(k) is related to the Jacobi elliptic functions through

 K(k)=1/2pitheta_3^2(q),

(14)

where the nome is defined by

(15)

with , where  is the complementary modulus.

K(k) satisfies the Legendre relation

(16)

where K(k) and E(k) are complete elliptic integrals of the first and second kinds, respectively, and  and are the complementary integrals. The modulus k is often suppressed for conciseness, so that K(k) and E(k) are often simply written K and E, respectively.

The integral  for complementary modulus is given by

(17)

(Whittaker and Watson 1990, p. 501), and

(dK)/(dk) = (E(k))/(k(1-k^2))-(K(k))/k

(18)

= kK(k)

(19)

(Whittaker and Watson 1990, p. 521), so

E(k) = k(1-k^2)[(dK)/(dk)+(K(k))/k]

(20)

= (1-k^2)[k(dK)/(dk)+K(k)]

(21)

(cf. Whittaker and Watson 1990, p. 521).

EllipticKODE

The solution to the differential equation

 d/(dk)[k(1-k^2)(dy)/(dk)]-ky=0

(22)

(Zwillinger 1997, p. 122; Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 907) is

(23)

where the two solutions are illustrated above and .

Definite integrals of K(k) include

int_0^1K(k)dk = 2K

(24)

int_0^1K(sqrt(k))dk = 2

(25)

int_0^1K(k^(1/4))dk = (20)/9

(26)

int_0^1(K(k^(1/4)))/(k^(1/4))dk = 4,

(27)

where K (not to be confused with K(k)) is Catalan's constant.


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.

Watson G. N. "The Expansion of Products of Hypergeometric Functions." Quart. J. Pure Appl. Math. 39, 27-51, 1907.

Watson G. N. "A Series for the Square of the Hypergeometric Function." Quart. J. Pure Appl. Math. 40, 46-57, 1908.

Watson, G. N. "Three Triple Integrals." Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 122, 1997.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.