Sylvester Matrix

For two polynomials  and  of degrees  and , respectively, the Sylvester matrix is an  matrix formed by filling the matrix beginning with the upper left corner with the coefficients of , then shifting down one row and one column to the right and filling in the coefficients starting there until they hit the right side. The process is then repeated for the coefficients of .

 

The Sylvester matrix can be implemented in the Wolfram Language as:

 

  SylvesterMatrix1[poly1_, poly2_,  var_] :=
    Function[{coeffs1, coeffs2}, With[
      {l1 = Length[coeffs1], l2 = Length[coeffs2]},
        Join[
          NestList[RotateRight, PadRight[coeffs1,
            l1 + l2 -  2], l2 - 2],
          NestList[RotateRight, PadRight[coeffs2,
            l1 + l2 - 2], l1 - 2]
        ]
      ]
    ][
      Reverse[CoefficientList[poly1, var]],
      Reverse[CoefficientList[poly2, var]]
  ]

For example, the Sylvester matrix for  and  is

The determinant of the Sylvester matrix of two polynomials is the resultant of the polynomials.

SylvesterMatrix is an (undocumented) method for the Resultant function in the Wolfram Language (although it isdocumented in Trott 2006, p. 29).

 

---

REFERENCES:

Akritas, A. G. "Sylvester's Forgotten Form of the Resultant." Fib. Quart. 31, 325-332, 1993.

Akritas, A. G. "Sylvester's Form of the Resultant and the Matrix-Triangularization Subresultant prs Method." Proceedings of the Conference on Computer Aided Proofs in Analysis, Cincinnati, Ohio, March, 1989 (Ed. K. R. Meyer and D. S. Schmidt.) IMA Volumes in Mathematics and its Applications, 28, 5-11, 1991.

Laidacker, M. A. "Another Theorem Relating Sylvester's Matrix and the Greatest Common Divisor." Math. Mag. 42, 126-128, 1969.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, p. 28, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

الاكثر قراءة في مواضيع عامة في الجبر

Orthogonal Polynomials

جبر المجموعات Sets Algebra

Domain and Range

Orthogonal Polynomials

Root

Matrix Multiplication

Primitive Polynomial

Polynomial Roots

Cubic Formula

Quintic Equation

متباينة من الدرجة الثالثة : third Degree Inequality

Tangent

Rouché,s Theorem

Berlekamp-Zassenhaus Algorithm

Xi-Function

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم شؤون المعارف يحصي منجزاته العلمية لعام 2025

شعبة الخطابة الحسينية النسوية تقيم برنامج مراقي العلا التوعوي لطالبات مدارس كربلاء

معهد القرآن الكريم النسوي يقيم مجلس عزاء بذكرى وفاة السيدة زينب (عليها السلام)

قسم الشؤون الفكرية يقدم محاضرة توعوية لمجموعة من طلبة مدارس بغداد

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف أفضل مكمل غذائي لتحسين المزاج ودعم الصحة النفسية

دراسة جديدة تكشف أضرار الأطعمة الجاهزة على القلب ؟

6 أطعمة طبيعية تهدئ الزكام دون أدوية.. تعرف عليهم

ماذا يحدث لأعراض الزكام عند تناول الثوم بانتظام؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ابتكار ثوري في بطاريات السيارات الكهربائية.. سعة أعلى 4 مرات

ماذا يحدث لجسمك عند شرب الماء الساخن يوميا؟

7 فوائد "خفية" لشرب شاي الكركديه كل يوم

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

المزيد

مواضيع ذات صلة

Zero Set

Xi-Function

Weierstrass Product Theorem

Tangent

Tanc Function

Simple Root

Separation Theorem

Rouché,s Theorem

Root Linear Coefficient Theorem

Root

Multiplicity

Multiple Root