المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05
نـسـب الإنـتاجـيـة والغـرض مـنها
2024-11-05
المـقيـاس الكـلـي للإنتاجـيـة
2024-11-05
الإدارة بـمؤشـرات الإنـتاجـيـة (مـبادئ الإنـتـاجـيـة)
2024-11-05
زكاة الفطرة
2024-11-05


Polynomial Roots  
  
2783   10:40 صباحاً   date: 17-2-2019
Author : Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll
Book or Source : V. H. Experimental Mathematics in Action.Wellesley, MA: A K Peters, 2007.
Page and Part : ...


Read More
Date: 13-3-2017 844
Date: 23-2-2019 602
Date: 4-3-2019 1042

Polynomial Roots

 

A root of a polynomial P(z) is a number z_i such that P(z_i)=0. The fundamental theorem of algebra states that a polynomial P(z) of degree n has n roots, some of which may be degenerate. For example, the roots of the polynomial

 x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)

(1)

are -1, 1, and 2. Finding roots of a polynomial is therefore equivalent to polynomial factorization into factors of degree 1.

Any polynomial can be numerically factored, although different algorithms have different strengths and weaknesses.

The roots of a polynomial equation may be found exactly in the Wolfram Language using Roots[lhs==rhsvar], or numerically using NRoots[lhs==rhsvar]. In general, a given root of a polynomial P(x)=x^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_0 is represented as Root[#^n+a[n-1]#^(n-1)+...+a[0]&, k], where k=1, 2, ..., n is an index identifying the particular root and the pure function polynomial is irreducible. Note that in the Wolfram Language, the ordering of roots is different in each of the commands RootsNRoots, and Table[Root[pk], {kn}].

In the Wolfram Language, algebraic expressions involving Root objects can be combined into a new Root object using the command RootReduce.

In this work, the nth root of a polynomial P(x) in the ordering of the Wolfram Language's Root object is denoted (P(x))_n, where x is a dummy variable. In this ordering, real roots come before complex ones and complex conjugatepairs of roots are adjacent. For example,

(x^2+x+1)_1 = 1/2(-1-isqrt(3))

(2)

(x^2+x+1)_2 = 1/2(-1+isqrt(3))

(3)

and

(x^3+x+1)_1  approx -0.68232

(4)

(x^3+x+1)_2  approx 0.34116-1.1615i

(5)

(x^3+x+1)_3  approx 0.34116+1.1615i.

(6)

Let the roots of the polynomial

 P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0

(7)

be denoted r_1r_2, ..., r_n. Then Vieta's formulas give

sum_(i=1)^(n)r_i = -(a_(n-1))/(a_n)

(8)

sum_(i,j; i<j)^(n)r_ir_j = (a_(n-2))/(a_n)

(9)

sum_(i_1,i_2,...,i_k; i_1<i_2<...<i_k)^(n)r_(i_1)r_(i_2)...r_(i_k) = (-1)^k(a_(n-k))/(a_n).

(10)

These can be derived by writing

 P(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_n),

(11)

expanding, and then comparing the coefficients with (◇).

Given an nth degree polynomial a_nx^n+...+a_1x+a_0, the roots can be found by finding the eigenvalues lambda_i of the matrix

 [-a_1/a_0 -a_2/a_0 -a_3/a_0 ... -a_n/a_0; 1 0 0 ... 0; 0 1 0 ... 0; | | 1 ... 0; 0 0 0 ... 0]

(12)

and taking r_i=1/lambda_i. This method can be computationally expensive, but is fairly robust at finding close and multiple roots.

If the coefficients of the polynomial

 d_nx^n+d_(n-1)x^(n-1)+...+d_0=0

(13)

are specified to be integers, then rational roots must have a numerator which is a factor of d_0 and a denominatorwhich is a factor of d_n (with either sign possible). This is known as the polynomial remainder theorem.

If there are no negative roots of a polynomial (as can be determined by Descartes' sign rule), then the greatest lower bound is 0. Otherwise, write out the coefficients, let n=-1, and compute the next line. Now, if any coefficients are 0, set them to minus the sign of the next higher coefficient, starting with the second highest order coefficient. If all the signs alternate, n is the greatest lower bound. If not, then subtract 1 from n, and compute another line. For example, consider the polynomial

 y=2x^4+2x^3-7x^2+x-7.

(14)

Performing the above algorithm then gives

0 2 2 -7 1 -7
-1 2 0 -7 8 -15
-- 2 -1 -7 8 -15
-2 2 -2 -3 7 -21
-3 2 -4 5 -14 35

so the greatest lower bound is -3.

If there are no positive roots of a polynomial (as can be determined by Descartes' sign rule), the least upper bound is 0. Otherwise, write out the coefficients of the polynomials, including zeros as necessary. Let n=1. On the line below, write the highest order coefficient. Starting with the second-highest coefficient, add n times the number just written to the original second coefficient, and write it below the second coefficient. Continue through order zero. If all the coefficients are nonnegative, the least upper bound is n. If not, add one to x and repeat the process again. For example, take the polynomial

 y=2x^4-x^3-7x^2+x-7.

(15)

Performing the above algorithm gives

0 2 -1 -7 1 -7
1 2 1 -6 -5 -12
2 2 3 -1 -1 -9
3 2 5 8 25 68

so the least upper bound is 3.

PolynomialRoots

Plotting the roots in the complex plane of all polynomials up to some degree with integer coefficients less than some cutoff integer in absolute value shows the beautiful structure illustrated above (Trott 2004, p. 23).

PolynomialRootsLoki

An even more stunning figure is obtained by plotting all roots of all polynomials with coefficients +/-1 up to degree n(Borwein and Jörgenson 2001; Pickover 2002; Bailey et al. 2007, p. 18).

 


REFERENCES:

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action.Wellesley, MA: A K Peters, 2007.

Bharucha-Reid, A. T. and Sambandham, M. Random Polynomials. New York: Academic Press, 1986.

Borwein, P. and Jörgenson, L. "Visible Structures in Number Theory." Amer. Math. Monthly 108, 897-911, 2001.

Borwein, P. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. New York: Springer-Verlag, 2002.

Odlyzko, A. M.; and Poonen, B. "Zeros of Polynomials with 0,1 Coefficients." L'Enseignement Math. 39, 317-348, 1993.

Pan, V. Y. "Solving a Polynomial Equation: Some History and Recent Progress." SIAM Rev. 39, 187-220, 1997.

Pickover, C. A. The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. New York: Cambridge University Press, pp. 286-287, 2002.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.