Let P₁, P₂, P₃, P₄, P₅ and P6 be the vertices of a regular hexagon in the plane, listed in cyclic order, and let K be simplicial complex consisting of the triangles P₁P₂P₃, P₃P₄P₅ and P₅P₆P₁, together with all the edges and vertices of these triangles. Then

It follows that c₁ is a 1-cycle of K if and only if

                              m₂ = m₃, m₄ = m₅, m₆ = m₁

and

                             m₁ + m₇ = m₃ + m₈ = m₅ + m₉.

Moreover c₁ is a 1-boundary of K if and only if

                   m₂ = m₃ = −m₈, m₄ = m₅ = −m₉, m₆ = m₁ = −m₇.

We see from this that not every 1-cycle of K is a 1-boundary of K. Indeed

             Z₁(K) = {n₁∂₂τ₁ + n₂∂₂τ₂ + n₃∂₂τ₃ + n_z : n₁, n₂, n₃, n ∈ Z},

where z = ρ₇ + ρ₈ + ρ₉. Let θ:Z₁(K) → Z be the homomorphism defined such that

                     θ (n₁∂₂τ₁ + n₂∂₂τ₂ + n₃∂₂τ₃ + n_z) = n

for all n₁, n₂, n₃, n ∈ Z. Now

            n₁∂₂τ₁ + n₂∂₂τ₂ + n₃∂₂τ₃ + n_z ∈ B₁(K) if and only if n = 0.

It follows that B₁(K) = ker θ. Therefore the homomorphism θ induces an isomorphism from H₁(K) to Z, where H₁(K) = Z₁(K)/B₁(K). Indeed H₁(K) = {n[z] : n ∈ Z}, where z = ρ₇ + ρ₈ + ρ₉ and [z] denotes the homology class of the 1-cycle z.

It is a straightforward exercise to verify that

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

خمسون عامًا من العطاء.. نجم الأعرجي خادم الزائرين بلا انقطاع

العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة مجالسها العزائية لإحياء شهر المحرم

العتبة العباسية المقدسة تطلق سلسلة محاضرات قرآنية عاشورائية في بابل

في مساء اليوم الخامس من المحرّم.. المواكب الكربلائيّة تواصل فعالياتها العزائية

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle