تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Covering Maps and Discontinuous Group Actions-Deck Transformations of Locally Path-Connected Coverings
المؤلف:
David R. Wilkins
المصدر:
Algebraic Topology
الجزء والصفحة:
...
25-6-2017
1991
Proposition 1.23 Let X be a topological space which is connected and locally path-connected, let X˜ be a connected topological space, let p: X˜ → X be a covering map over X, and let w1 and w2 be points of the covering space X˜.
Then there exists a deck transformation h: X˜ → X˜ sending w1 to w2 if and only if p#(π1(X, w˜1)) = p#(π1(X, w˜2)), in which case the deck transformation sending w1 to w2 is uniquely determined.
Proof The proposition follows immediately on applying Theorem 1.21.
Corollary 1.24 Let X be a topological space which is connected and locally path-connected, let p: X˜ → X be a covering map over X, where the covering space X˜ is connected. Suppose that p#(π1(X, w˜1)) is a normal subgroup of π1(X, p(w1)). Then, given any points w1 and w2 of the covering space X˜ satisfying p(w1) = p(w2), there exists a unique deck transformation h: X˜ → X˜ satisfying h(w1) = w2.
Proof The covering space X˜ is both locally path-connected (by Proposition 1.16) and connected, and is therefore path-connected (by Corollary 1.17).
It follows that p#(π1(X, w˜1)) and p#(π1(X, w˜2)) are conjugate subgroups of π1(X, p(w1)) (Lemma 1.7). But then p#(π1(X, w˜1)) = p#(π1(X, w˜2)), since p#(π1(X, w˜1)) is a normal subgroup of π1(X, p(w1)). The result now follows from Proposition 1.23.
Theorem 1.25 Let p: X˜ → X be a covering map over some topological space X which is both connected and locally path-connected, and let x0 and x˜0 be points of X and X˜ respectively satisfying p(x˜0) = x0. Suppose that X˜ is connected and that p#(π1(X˜, x˜0)) is a normal subgroup of π1(X, x0).
Then the group Deck(X˜|X) of deck transformations is isomorphic to the corresponding quotient group π1(X, x0)/p#(π1(X˜, x˜0)).
Proof Let G be the group Deck(X˜|X) of deck transformations of X˜. Then the group G acts freely and properly discontinuously on X˜ (Proposition 1.13).
Let q: X → X/G ˜ be the quotient map onto the orbit space X/G. Elements w1 and w2 of X˜ satisfy w2 = g(w1) for some g ∈ G if and only if p(w1) = p(w2).
It follows that there is a continuous map h: X/G ˜ → X for which h ◦ q = p.
This map h is a bijection. Moreover it maps open sets to open sets, for if W is some open set in X/G ˜ then q−1 (W) is an open set in X˜, and therefore p(q−1 (W)) is an open set in X, since any covering map maps open sets to open sets. But p(q−1 (W)) = h(W). Thus h: X/G ˜ → X is a continuous bijection that maps open sets to open sets, and is therefore a homeomorphism. The fundamental group of the topological space X is thus isomorphic to that of the orbit space X/G ˜ . It follows from Proposition 1.9 that there exists a surjective homomorphism from π1(X, x0) to the group G of deck transformations of the covering space. The kernel of this homomorphism is p#(π1(X˜, x˜0)). The result then follows directly from the fact that the image of a group homomorphism is isomorphic to the quotient of the domain by the kernel of the homomorphism.
Corollary 1.26 Let p: X˜ → X be a covering map over some topological space X which is both connected and locally path-connected, and let x0 be a point of X. Suppose that X˜ is simply-connected. Then Deck(X˜|X)≅ π1(X, x0).
الاكثر قراءة في التبلوجيا
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة

الآخبار الصحية
