Definition: Let f: X → Y and g: X → Y be continuous maps between topological spaces X and Y . The maps f and g are said to be homotopic if there exists a continuous map                    H: X × [0, 1] → Y such that H(x, 0) = f(x)  and H(x, 1) = g(x) for all x ∈ X. If the maps f and g are homotopic then we denote this fact by writing f ≃g. The map H with the properties stated above is referred to as a homotopy between f and g.

Continuous maps f and g from X to Y are homotopic if and only if it is possible to ‘continuously deform’ the map f into the map g.

Lemma 1.1 Let X and Y be topological spaces. The homotopy relation ≃ is an equivalence relation on the set of all continuous maps from X to Y .

Proof Clearly f≃f, since (x, t) → f(x) is a homotopy between f and itself. Thus the relation is reflexive. If f ≃ g then there exists a homotopy H: X × [0, 1] → Y between f and g (so that H(x, 0) = f(x) and H(x, 1) = g(x) for all x ∈ X). But then (x, t) → H(x, 1 − t) is a homotopy between g and f. Therefore f ≃ g if and only if g ≃ f. Thus the relation is symmetric. Finally, suppose that f ≃g and g ≃h. Then there exist homotopies H₁: X × [0, 1] → Y and H₂: X × [0, 1] → Y such that H₁(x, 0) = f(x), H₁(x, 1) = g(x) = H₂(x, 0) and H₂(x, 1) = h(x) for all x ∈ X. Define H: X × [0, 1] → Y by

Now H|X ×[0, 1/2] and H|X ×[1/2 , 1] are continuous. It follows from elementary point set topology that H is continuous on X × [0, 1]. Moreover H(x, 0) = f(x) and H(x, 1) = h(x) for all x ∈ X. Thus f ≃ h. Thus the relation is transitive. The relation ≃ is therefore an equivalence relation.

Definition: Let X and Y be topological spaces, and let A be a subset of X.

Let f: X → Y and g: X → Y be continuous maps from X to some topological space Y , where f|A = g|A (i.e., f(a) = g(a) for all a ∈ A). We say that f and g are homotopic relative to A (denoted by f ≃g rel A) if and only if there exists a (continuous) homotopy H: X × [0, 1] → Y such that H(x, 0) = f(x)  and H(x, 1) = g(x) for all x ∈ X and H(a, t) = f(a) = g(a) for all a ∈ A.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

قسم الشؤون الفكرية ومؤسسة الشهداء يبحثان سبل تعزيز التعاون في برامج الذاكرة الوطنية

المجمع العلمي يقيم دورته التطويرية الثالثة لإعداد أساتذة الدورات الصيفية في صلاح الدين

قسم التطوير يقدم ورشة عن التغيرات الاجتماعية وتأثيرها على الهوية الثقافية في جامعة القادسية

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف تأثير برودة الشتاء على النوم

دون أن تعلم.. 10 عادات يومية تسرع شيخوخة جسمك

تقرير: النيكوتين خطر على القلب مهما كانت الطريقة

أيهما أفضل لصحتك.. زبدة الفول السوداني أم النوتيلا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

السعودية تدشن أكبر نظام لتخزين الكهرباء بالبطاريات في العالم !

بأمر تنفيذي.. ترامب يؤكد هدف عودة الأميركيين إلى القمر في عام 2028

بعيدا عن البشر.. "قتال جوي في الفضاء" بين أميركا والصين

كشف مذهل في قاع "برمودا" !

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle