المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24
من آداب التلاوة
2024-11-24
مواعيد زراعة الفجل
2024-11-24
أقسام الغنيمة
2024-11-24
سبب نزول قوله تعالى قل للذين كفروا ستغلبون وتحشرون الى جهنم
2024-11-24

شهاب الدين بن عربشاه
27-1-2016
الحكمة والتعقل في التصرفات المتزنة
25-10-2020
نخيل الزينة (نخيل أريكا)
2024-07-12
Isoacceptor tRNA
12-10-2018
تـغييـر هـويـة المـنظمـة وتـفـكيكـهـا
2024-10-22
المشكلات التي تواجه تطبيق التخطيط اللامركزي
10-7-2021

Topological Spaces-Identification Maps and Quotient Topologies  
  
1279   02:20 مساءاً   date: 26-9-2016
Author : David R. Wilkins
Book or Source : Algebraic Topology
Page and Part : 11-12


Read More
Date: 17-7-2021 1627
Date: 24-6-2021 1319
Date: 5-5-2021 1467

Definition : Let X and Y be topological spaces and let q: X → Y be a function from X to Y . The function q is said to be an identification map if

and only if the following conditions are satisfied:

• the function q: X → Y is surjective,

• a subset U of Y is open in Y if and only if q−1 (U) is open in X.

It follows directly from the definition that any identication map is continuous. Moreover, in order to show that a continuous surjection q: X → Y is an identification map, it suffices to prove that if V is a subset of Y with the property that q−1 (V ) is open in X then V is open in Y .

Lemma 1.1 Let X be a topological space, let Y be a set, and let q: X → Y be a surjection. Then there is a unique topology on Y for which the function q: X → Y is an identification map.

Proof Let τ be the collection consisting of all subsets U of Y for whichq−1 (U) is open in X. Now q−1 (∅) = ∅, and q−1 (Y ) = X, so that ∅ ∈ τ andY ∈ τ . If {Vα : α ∈ A} is any collection of subsets of Y indexed by a set A,  then it is a straightforward exercise to verify that

(i.e., given any collection of subsets of Y , the union of the preimages of the sets is the preimage of the union of those sets, and the intersection of the preimages of the sets is the preimage of the intersection of those sets). It follows easily from this that unions and finite intersections of sets belonging to τ must themselves belong to τ . Thus τ is a topology on Y , and the function q: X → Y is an identification map with respect to the topology τ .  Clearly τ is the unique topology on Y for which the function q: X → Y is an identification map

Let X be a topological space, let Y be a set, and let q: X → Y be a surjection. The unique topology on Y for which the function q is an identification map is referred to as the quotient topology (or identification topology)  on Y .

Lemma 1.2 Let X and Y be topological spaces and let q: X → Y be an identification map. Let Z be a topological space, and let f: Y → Z be a function from Y to Z. Then the function f is continuous if and only if the composition function f ◦ q: X → Z is continuous

Proof Suppose that f is continuous. Then the composition function f ◦ q is a composition of continuous functions and hence is itself continuous.

Conversely suppose that f ◦ q is continuous. Let U be an open set in Z.

Then q−1 (f−1 (U)) is open in X (since f ◦ q is continuous), and hence f−1 (U)  is open in Y (since the function q is an identification map). Therefore the function f is continuous, as required.

Example Let S1 be the unit circle in R2, and let q: [0, 1] → S1 be the map that sends t ∈ [0, 1] to (cos 2πt,sin 2πt). Then q: [0, 1] → S1is an identification map, and therefore a function f: S1 → Z from S1to some topological space Z is continuous if and only if f ◦q: [0, 1] → Z is continuous.

Example :Let Sn be the n-sphere, consisting of all points x in Rn+1 satisfying |x| = 1. Let RPn be the set of all lines in Rn+1 passing through the origin  (i.e., RPnis the set of all one dimensional vector subspaces of Rn+1). Let q: Sn → RPn denote the function which sends a point x of Sn to the element of RPnrepresented by the line in Rn+1 that passes through both x and the  origin. Note that each element of RPn is the image (under q) of exactly two antipodal points x and  x of Sn. The function q induces a corresponding quotient topology on RPn such that q: Sn → RPn is an identification map. The set RPn, with this topology, is referred to as real projective n-space. In particular RP2 is referred to as the real projective plane. It follows from Lemma 1.10 that a function f: RPn → Z from RPn to any topological space Z is continuous if and only if the composition function f ◦ q: S n → Z is continuous.

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.