القيم العظمى والصغرى :

 EXTREMA – MAXIMA AND MINIMA

عند تتبع منحنى الدالة في الفترة الحقيقية [a , b] يمكن للمنحنى أن يجتاز ليحقق القيم العظمى (x_m) والقيم الصغرى (x_m) والتي نشير إليها في التمثيل البياني التالي:

شكل (1-1)

تتم الإشارة إلى النقاط العظمى بــ والنقاط الصغرى بــ

تعريف : لتكن لدينا الدالة الحقيقية f المعرفة على المجموعة s الجزئية من مجال التعريف dom (f)، ونقول :

1- الدالة f تقبل القيمة العظمى (maximum)x_m من المجموعة S إذا كان لكل قيم الأعداد الحقيقية x من S . وتسمى      بالقيمة العظمى.

2- الدالة f تقبل القيمة العظمى (minimum)x_m من المجموعة S إذا كان لكل قيم الأعداد الحقيقية x من s . وتسمى بالقيمة الصغرى.

ملاحظة : يمكن أن تقبل الدالة في الفترة من المجال التعريف قيم عظمى وقيم صغرى رغم عدم استمرارية الدالة على مجموعة منتهية من النقاط في تلك الفترة وحسب ما يوضحه التمثيل البياني التالي:

شكل (2-1)

مثال (1) : لتكن الدالة f(x) = x المعرفة على كل مجموعة الأعداد الحقيقية.

1- حدد النقاط الصغرى والعظمى للدالة f في كل IR ؟

2- حدد النقاط الصغرى والعظمى للدالة f في الفترة [1,2]؟

3- حدد النقاط الصغرى والعظمى للدالة f في الفترة (1,2)؟

4- حدد النقاط الصغرى والعظمى للدالة f في الفترة (1,2]؟

5- حدد النقاط الصغرى والعظمى للدالة f في الفترة [1,2)؟.

الحل :

1- لا توجد نقاط عظمى ولا صغرى.

2- توجد نقطة صغرى f(1) = 1 وقيمة عظمى f(2) = 2.

3- توجد نقاط عظمى وصغرى.

4- توجد نقطة صغرى f(1) = 1 ، ولكن لا توجد قيمة عظمى.

5- توجد قيمة عظمى f(2) = 2 ، ولكن توجد نقطة صغرى.

مثال (2) : لتكن الدالة :

1- حدد مجموعة التعريف dom(f) ؟

2-مثل منحنى الدالة f؟

3- هل الدالة مستمرة على مجال تعريفها؟

4- هل تقبل الدالة نقاطاً عظمى أو صغرى في مجال التعريف؟

الحل:

1ـ مجموعة التعريف هي  : [-1,1] = dom (f)

2- تمثيل الدالة في الفترة dom (f).

شكل (3-1)

لدينا وهو ما يثبت أن الدالة غير مستمرة عند قيمة     x = 0 .

لدينا

و وهذا ما يؤكد أن الدالة لا تقل لا قيماً صغرى ولا قيماً عظمى في المجال dom (f).

مثال (3) : لتكن الدالة ، تأكد ان الدالة تقبل قيمها الصغرى على خط مسار المعادلة ؟

الحل :

لدينا التمثيل للدالة كما يلي:

شكل (4-1)

وعليه، إذا ادعينا أنه توجد النقطة p ذات  الإحداثيات المستوية (x,y) فإن :

القيمة d² نحصل على القيمة العظمى يعني أن . وهو ما يؤكد أن : x = 1/2 وأن ، وهذا يشير إلى أن القيمة الصغرى هي . وهو المطلوب.

مثال (4) : لتكن الدالة :

تأكد أن هذه الدالة لا تقبل القيم الصغرى أو القيم العظمى عند أطراف الأعداد الحقيقية عندما يكون العدد الحقيقي

الحل : يتضح أن :

وأن أيضاً : . ، لأن اكبر أس زوجي وبمعامل موجب. يمكن التأكد وببساطة أن الدالة لا تقبل لا قيماً صغرى ولا عظمى