النهايات عند ما لا نهاية : LIMITS AT INFINITY

يتضح أنه كلما اقترب. فإن قيم الدالة f(x) = 2x أيضاً تؤول إلى ما لا نهاية ، أي أنا لنهاية أما نهاية ، الدالة فإنها تؤول إلى واحد عندما تؤول x إلى ما لا نهاية،: وهو ما يعني أن : . أما نهاية الدالة    f(x) = -2x فإنها تؤول إلى ما لا نهاية بالإشارة السالبة عندما تؤول x إلى ما لا نهاية وهو ما يعني أن : ونفس التغيرات تحدث مع الاحتفاظ بالإشارة عندما تؤول x إلى ما لا نهاية بالإشارة السالبة

تترجم عبارة إذا كان لكل قيم العدد الحقيقي الموجب 0≺ ε يوجد عدد حقيقي 0≺R بحيث إن لكل قيم R ≺X لدينا : أما مفهوم فهو أن لكل قيم العدد الحقيقي 0≺ ε يوجد عدد حقيقي موجب 0≺R بحيث إن لكل قيم .R ≺X- فإن المتراجحة التالية محققة دائماً

مثال (1) : لاحظ أنه وببساطة باستخدام التعريف التأكد أن :

مثال (2) : أوجد النهاية التالية :       

الحل :

بعد الحسابات البسيطة ينتج لدينا  ، وهي حالة  من عدم التعيين من النوع والتخلص منها نستخدم أسلوب استخراج اكبر أس من كثيرات الحدود في كل  من البسط والمقام . وبحسابات بسيطة نجد :

ملاحظة : في هذه الحالة عندما يكون . فإنه ينتج لدينا خط متقارب أفقي (Horizontal Asymptotes) معادلته y = L ، أو خط متقارب أفقي معادلته : y = M . ويمكن توضيح الفكرة كما في الشكل التالي :

شكل (1-1)

مثال (3) : أوجد المستقيم الأفقي للدالة f(x) = 1/x .

الحل :

بعد الحسابات البسيطة نلاحظ أن : وأن وعليه فإن الدالة f(x) = 1/x تقبل خطاً أفقياً معادلته : y = 0 .

مثال (4) : يمكن التأكد وببساطة أن

:

ملاحظة : إن كل حالات المثل الرابع توضح ان ناتج النهاية هو من قبيل مالا نهاية مع مراعاة الإشارة من كل الأطراف المشكلة للنهاية.

شكل (2-1)

مثال (5) : يمكن التأكد وببساطة أن النهايات ، وأن وأيضاً أن :

مثال (6) : أوجد النهاية التالية إن وجدت : .

الحل :

ببساطة يمكن التأكد أن : لأنه عندما يؤول 3→x يؤول المقدار .0→²(3-x). وعليه تنتج النهاية لأن :

مثال (7) : أوجد الخط العمودي الرأسي للدالة f(x) = 1/x.

الحل :

بعد الحسابات البسيطة ينتج لدينا   ، وأن   وعليه فإن الدالة f(x) = 1/x . تقبل خطأ عمودياً رأسياً معادلته x = 0.