النهايات عند ما لا نهاية : LIMITS AT INFINITY
المؤلف:
د.لحسن عبدالله باشيوة
المصدر:
الرياضيات الاساسية وتطبيقاتها
الجزء والصفحة:
94-96
4-11-2021
6657
النهايات عند ما لا نهاية : LIMITS AT INFINITY
يتضح أنه كلما اقترب
. فإن قيم الدالة f(x) = 2x أيضاً تؤول إلى ما لا نهاية ، أي أنا لنهاية 
أما نهاية ، الدالة 
فإنها تؤول إلى واحد عندما تؤول x إلى ما لا نهاية،: وهو ما يعني أن : 
. أما نهاية الدالة f(x) = -2x فإنها تؤول إلى ما لا نهاية بالإشارة السالبة عندما تؤول x إلى ما لا نهاية وهو ما يعني أن : 
ونفس التغيرات تحدث مع الاحتفاظ بالإشارة عندما تؤول x إلى ما لا نهاية بالإشارة السالبة 
تترجم عبارة 
إذا كان لكل قيم العدد الحقيقي الموجب 0≺ ε يوجد عدد حقيقي 0≺R بحيث إن لكل قيم R ≺X لدينا : 
أما مفهوم 
فهو أن لكل قيم العدد الحقيقي 0≺ ε يوجد عدد حقيقي موجب 0≺R بحيث إن لكل قيم .R ≺X- فإن المتراجحة التالية محققة دائماً 
مثال (1) : لاحظ أنه وببساطة باستخدام التعريف التأكد أن : 
مثال (2) : أوجد النهاية التالية : 
الحل :
بعد الحسابات البسيطة ينتج لدينا 
، وهي حالة من عدم التعيين من النوع
والتخلص منها نستخدم أسلوب استخراج اكبر أس من كثيرات الحدود في كل من البسط والمقام . وبحسابات بسيطة نجد :
ملاحظة : في هذه الحالة عندما يكون 
. فإنه ينتج لدينا خط متقارب أفقي (Horizontal Asymptotes) معادلته y = L ، أو خط متقارب أفقي معادلته : y = M . ويمكن توضيح الفكرة كما في الشكل التالي :
شكل (1-1)
مثال (3) : أوجد المستقيم الأفقي للدالة f(x) = 1/x .
الحل :
بعد الحسابات البسيطة نلاحظ أن : 
وأن 
وعليه فإن الدالة f(x) = 1/x تقبل خطاً أفقياً معادلته : y = 0 .
مثال (4) : يمكن التأكد وببساطة أن
: 
ملاحظة : إن كل حالات المثل الرابع توضح ان ناتج النهاية هو من قبيل مالا نهاية مع مراعاة الإشارة من كل الأطراف المشكلة للنهاية.
شكل (2-1)
مثال (5) : يمكن التأكد وببساطة أن النهايات 
، وأن
وأيضاً أن : 
مثال (6) : أوجد النهاية التالية إن وجدت : .
الحل :
ببساطة يمكن التأكد أن :
لأنه عندما يؤول 3→x يؤول المقدار .0→2(3-x). وعليه تنتج النهاية
لأن : 
مثال (7) : أوجد الخط العمودي الرأسي للدالة f(x) = 1/x.
الحل :
بعد الحسابات البسيطة ينتج لدينا 
، وأن 
وعليه فإن الدالة f(x) = 1/x . تقبل خطأ عمودياً رأسياً معادلته x = 0.
الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
