نظرية المقارنة بالحصر : THE SQUEEZE THEOREM

إنه يمكن دائماً حصر منحنى الدالة  y = g(x) في الفترة المحددة بين منحنى دالتين من الاعلى بمنحنى الدالة y = h(x) ومن الأسفل بمنحنى الدالة y = f(x) كما يوضح الشكل التالي:

شكل( 1-1)

النظرية : لتكن لدينا ثلاث دوال h , g , f بحيث إن : لكل قيم x الموجودة في الفترة المفتوحة التي تشمل النقطة a = x₀ بحيث إن :

، إذن نهاية الدالة g(x) هي : 

مثال (1) : أوجد النهاية التالية : 

الحل :

باستخدام حسابات بسيطة نجد :

مثال(2) : أوجد النهاية التالية :  .

الحل :

باستخدام حسابات بسيطة نجد :

مثال (3) : إذا علمت أن الدالة f(x) معرفة كما يلي:

الحل :

بالاستعانة بالمنحنى البياني الممثل للدالة نلاحظ :

          شكل (2-1)

الحل :

في الحالة a باستخدام حسابات بسيطة نجد :

مثال (4) : إذا علمت أن : .، وأن : ..

أوجد

الحل :

لحل هذه المسألة نحتاج إلى الاستعانة بالمنحنى البياني للدالة وذلك:

شكل (3-1)

نعرف كل من الدالتين g₁ و g₂ بحيث إن :

باعتبار أن منحنى الدالة g₁ ، هو تحت  الدالة g₂ ، إذن لدينا :

إذا كان

مثال (5) : باعتبار أن : . أوجد

الحل :بالاستعانة بالرسم ، يمكن توضيح المثال كما يلي:

شكل (4-1)

من التمثيل البياني ، يتضح أنه في حالة : فإن

وهو ما يؤكد أن : وباستخدام نظرية المقارنة بالحصر (The Squeeze Theorem) نجد : 

معه حالة عدم التعين من النوع (The Indeterminate form Of Type 0/0) 0/0 لمعالجة هذه الحالة في صيغها المتعددة نتطرق إلى الامثلة الميدانية التالية :

مثال (1) : أوجد النهاية التالية إن وجدت ؟

الحل :

بتتبع قيم الدالة عند مختلف قيم x دون بعض القيم الأساسية في الجدول التالي:

يتضح من الجدول أنه عندما يقترب  . تقترب من .

ولمعالجة المسألة نلاحظ أن : . وهي حالة عدم التعين من النوع 0/0 ، ولأجل حل المسألة في هذه الحالة ، نفك البسط بدلالة المقام ونكتب :

مثال (2) : أوجد النهايات التالية :

الحل :

يلاحظ من النهايات أنها كلها من النوع 0/0 ، ولأجل  حلها نستخدم أسلوب الاختصار، لأن الفك جاهز وذلك: