A Hilbert space is a vector space  with an inner product  such that the norm defined by

turns  into a complete metric space. If the metric defined by the norm is not complete, then  is instead known as an inner product space.

Examples of finite-dimensional Hilbert spaces include

1. The real numbers  with  the vector dot product of  and .

2. The complex numbers  with  the vector dot product of  and the complex conjugate of .

An example of an infinite-dimensional Hilbert space is , the set of all functions  such that the integral of  over the whole real line is finite. In this case, the inner product is

A Hilbert space is always a Banach space, but the converse need not hold.

A (small) joke told in the hallways of MIT ran, "Do you know Hilbert? No? Then what are you doing in his space?" (S. A. Vaughn, pers. comm., Jul. 31, 2005).

REFERENCES:

Sansone, G. "Elementary Notions of Hilbert Space." §1.3 in Orthogonal Functions, rev. English ed. New York: Dover, pp. 5-10, 1991.

Stone, M. H. Linear Transformations in Hilbert Space and Their Applications Analysis. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1932.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

العتبة العباسية المقدسة تواصل تنظيم مجالس العزاء الصباحية بذكرى زيارة عاشوراء

مواكب العزاء تستذكر في التاسع من شهر المحرم شهادة عبدالله الرضيع بن الحسين (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تستذكر تضحيات القاسم بن الحسن (عليهما السلام)

شعبة الحرم الشريف تواصل تنفيذ خطتها الخاصة بشهر المحرّم داخل مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد