An abstract vector space of dimension  over a field  is the set of all formal expressions

(1)

where {v_1,v_2,...,v_n}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/AbstractVectorSpace/Inline3.gif" style="height:15px; width:84px" /> is a given set of  objects (called a basis) and  is any -tuple of elements of . Two such expressions can be added together by summing their coefficients,

(2)

This addition is a commutative group operation, since the zero element is  and the inverse of  is . Moreover, there is a natural way to define the product of any element  by an arbitrary element (a so-called scalar)  of ,

(3)

Note that multiplication by 1 leaves the element unchanged.

This structure is a formal generalization of the usual vector space over , for which the field of scalars is the real field  and a basis is given by {(1,0,0,...,0),(0,1,0,0,...,0),...,(0,0,...,0,1)}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/AbstractVectorSpace/Inline16.gif" style="height:15px; width:309px" />. As in this special case, in any abstract vector space , the multiplication by scalars fulfils the following two distributive laws:

1. For all  and all , .

2. For all  and all , .

These are the basic properties of the integer multiples in any commutative additive group. This special behavior of a product with respect to the sum defines the notion of linear structure, which was first formulated by Peano in 1888.

Linearity implies, in particular, that the zero elements  and  of  and  annihilate any product. From (1), it follows that

(4)

for all , whereas from (2), it follows that

(5)

for all .

A more general kind of abstract vector space is obtained if one admits that the basis has infinitely many elements. In this case, the vector space is called infinite-dimensional and its elements are the formal expressions in which all but a finite number of coefficients are equal to zero.

REFERENCES:

Peano, G. Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann. Torino, Italia: Fratelli Bocca, 1888.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة عن أخلاقيات المهنة للمنتسبين الجدد

تتضمن زيارة المراقد المقدسة في كربلاء.. معهد القرآن الكريم النسوي ينظم سفرة دينية لطالباته

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد