المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية

دراسة لبعض المحاصيل الزراعية- محاصيل الحبوب - إنتاج العالم من الأرز
7-4-2021
هبلتك الهبول
23-4-2020
المقدّمة الخارجيّة
13-9-2016
التّوابون
25-09-2014
النضج السياسي في الوطن العربي
2024-11-06
الغرور واليأس
25-09-2014

HOMFLY Polynomial  
  
3115   09:16 صباحاً   date: 13-6-2021
Author : Adams, C. C.
Book or Source : he Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. New York: W. H. Freeman
Page and Part : ...


Read More
Date: 17-7-2021 1491
Date: 6-6-2021 3215
Date: 29-5-2021 1802

HOMFLY Polynomial

A 2-variable oriented knot polynomial P_L(a,z) motivated by the Jones polynomial (Freyd et al. 1985). Its name is an acronym for the last names of its co-discoverers: Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, and Yetter (Freyd et al. 1985). Independent work related to the HOMFLY polynomial was also carried out by Prztycki and Traczyk (1987). HOMFLY polynomial is defined by the skein relationship

 a^(-1)P_(L_+)(a,z)-aP_(L_-)(a,z)=zP_(L_0)(a,z)

(1)

(Doll and Hoste 1991), where v is sometimes written instead of a (Kanenobu and Sumi 1993) or, with a slightly different relationship, as

 alphaP_(L_+)(alpha,z)-alpha^(-1)P_(L_-)(alpha,z)=zP_(L_0)(alpha,z)

(2)

(Kauffman 1991). It is also defined as P_L(l,m) in terms of skein relationship

 lP_(L_+)+l^(-1)P_(L_-)+mP_(L_0)=0

(3)

(Lickorish and Millett 1988). It can be regarded as a nonhomogeneous polynomial in two variables or a homogeneous polynomial in three variables. In three variables the skein relationship is written

 xP_(L_+)(x,y,z)+yP_(L_-)(x,y,z)+zP_(L_0)(x,y,z)=0.

(4)

It is normalized so that P_(unknot)=1. Also, for n unlinked unknotted components,

 P_L(x,y,z)=(-(x+y)/z)^(n-1).

(5)

This polynomial usually detects chirality but does not detect the distinct enantiomers of the knots 09-042, 10-048, 10-071, 10-091, 10-104, and 10-125 (Jones 1987). The HOMFLY polynomial of an oriented knot is the same if the orientation is reversed. It is a generalization of the Jones polynomial V(t), satisfying

V(t) = P(a=t,z=t^(1/2)-t^(-1/2))

(6)

V(t) = P(l=it^(-1),m=i(t^(-1/2)-t^(1/2))).

(7)

It is also a generalization of the Alexander polynomial del (z), satisfying

 Delta(z)=P(a=1,z=t^(1/2)-t^(-1/2)).

(8)

The HOMFLY polynomial of the mirror image K^* of a knot K is given by

 P_(K^*)(l,m)=P_K(l^(-1),m),

(9)

so P usually but not always detects chirality.

A split union of two links (i.e., bringing two links together without intertwining them) has HOMFLY polynomial

 P(L_1 union L_2)=-(l+l^(-1))m^(-1)P(L_1)P(L_2).

(10)

Also, the composition of two links

 P(L_1#L_2)=P(L_1)P(L_2),

(11)

so the polynomial of a composite knot factors into polynomials of its constituent knots (Adams 1994).

Mutants have the same HOMFLY polynomials. In fact, there are infinitely many distinct knots with the same HOMFLY polynomial (Kanenobu 1986). Examples include (05-001, 10-132), (08-008, 10-129) (08-016, 10-156), and (10-025, 10-056) (Jones 1987). Incidentally, these also have the same Jones polynomial.

M. B. Thistlethwaite has tabulated the HOMFLY polynomial for knots up to 13 crossings.


REFERENCES:

Adams, C. C. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. New York: W. H. Freeman, pp. 171-172, 1994.

Doll, H. and Hoste, J. "A Tabulation of Oriented Links." Math. Comput. 57, 747-761, 1991.

Freyd, P.; Yetter, D.; Hoste, J.; Lickorish, W. B. R.; Millett, K.; and Oceanu, A. "A New Polynomial Invariant of Knots and Links." Bull. Amer. Math. Soc. 12, 239-246, 1985.

Jones, V. "Hecke Algebra Representations of Braid Groups and Link Polynomials." Ann. Math. 126, 335-388, 1987.

Kanenobu, T. "Infinitely Many Knots with the Same Polynomial." Proc. Amer. Math. Soc. 97, 158-161, 1986.

Kanenobu, T. and Sumi, T. "Polynomial Invariants of 2-Bridge Knots through 22 Crossings." Math. Comput. 60, 771-778 and S17-S28, 1993.

Kauffman, L. H. Knots and Physics. Singapore: World Scientific, p. 52, 1991.

Lickorish, W. B. R. and Millett, B. R. "The New Polynomial Invariants of Knots and Links." Math. Mag. 61, 1-23, 1988.

Livingston, C. Knot Theory. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 213-217, 1993.

Morton, H. R. and Short, H. B. "Calculating the 2-Variable Polynomial for Knots Presented as Closed Braids." J. Algorithms 11, 117-131, 1990.

Przytycki, J. and Traczyk, P. "Conway Algebras and Skein Equivalence of Links." Proc. Amer. Math. Soc. 100, 744-748, 1987.

Stoimenow, A. "Jones Polynomials." https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~stoimeno/ptab/j10.html.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.