Consider  strings, each oriented vertically from a lower to an upper "bar." If this is the least number of strings needed to make a closed braid representation of a link,  is called the braid index. A general -braid is constructed by iteratively applying the  () operator, which switches the lower endpoints of the th and th strings--keeping the upper endpoints fixed--with the th string brought above the th string. If the th string passes below the th string, it is denoted .

The operations  and  on  strings define a group known as the braid group or Artin braid group, denoted .

Topological equivalence for different representations of a braid word  and  is guaranteed by the conditions

{sigma_isigma_j=sigma_jsigma_i for |i-j|>=2; sigma_isigma_(i+1)sigma_i=sigma_(i+1)sigma_isigma_(i+1) for all i " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BraidGroup/NumberedEquation1.gif" style="height:44px; width:246px" />

(1)

as first proved by E. Artin.

Any -braid can be expressed as a braid word, e.g.,  is a braid word in the braid group . When the opposite ends of the braids are connected by nonintersecting lines, knots (or links) may formed that can be labeled by their corresponding braid word. The Burau representation gives a matrix representation of the braid groups.

REFERENCES:

Adams, C. C. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. New York: W. H. Freeman, pp. 132-133, 1994.

Birman, J. S. "Braids, Links, and the Mapping Class Groups." Ann. Math. Studies, No. 82. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1976.

Birman, J. S. "Recent Developments in Braid and Link Theory." Math. Intell. 13, 52-60, 1991.

Christy, J. "Braids." http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/813/.

Jones, V. F. R. "Hecke Algebra Representations of Braid Groups and Link Polynomials." Ann. Math. 126, 335-388, 1987.

Murasugi, K. and Kurpita, B. I. A Study of Braids. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1999.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق باقة من النشاطات الرقمية الخاصة بشهر المحرم

العتبة العباسية المقدسة تختتم السلسلة الأولى لمشروع المحاضرات القرآنية العاشورائية في بابل

العتبة العباسية المقدسة تسلّم راية العزاء إلى تجمّع مواكب محافظة الديوانية

قسم الشؤون الفكرية يواصل إقامة المجالس الحسينية ضمن سلسلة (بيوت النعيم)

المزيد

الآخبار الصحية

تناول الجبن.. مفيد للجسم أم خطر يهدد صحتك؟

طبيبة أسنان تحذر.. لا تتجاهل هذه العلامة بعد التنظيف

يجب أن تأكل المزيد من الشمام هذا الصيف.. إليك السبب ؟

تأثير صحي كبير.. كم بيضة يجب أن تتناول يوميا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أداء خلايا البيروفسكايت الشمسية تحت الماء قد يزيد كفاءة تحويل الكهرباء

مسافة الأمان: أساس القيادة الآمنة وتجنب الحوادث

هل القيادة السريعة تعني استهلاك اكثر للوقود؟

لماذا يعتبر كوكب المريخ غير صالح للحياة؟

المزيد