The homomorphism  which, according to the snake lemma, permits construction of an exact sequence

(1)

from the above commutative diagram with exact rows. The homomorphism  is defined by

(2)

for all ,  denotes the image, and  is obtained through the following construction, based on diagram chasing.

1. Exploit the surjectivity of  to find  such that .

2. Since  because of the commutativity of the right square,  belongs to , which is equal to  due to the exactness of the lower row at . This allows us to find  such that .

While the elements  and  are not uniquely determined, the coset  is, as can be proven by using more diagram chasing. In particular, if  and  are other elements fulfilling the requirements of steps (1) and (2), then  and , and

(3)

hence  because of the exactness of the upper row at . Let  be such that

(4)

Then

(5)

because the left square is commutative. Since  is injective, it follows that

(6)

and so

(7)

REFERENCES:

Bourbaki, N. "Le diagramme du serpent." §1.2 in Algèbre. Chap. 10, Algèbre Homologique. Paris, France: Masson, 3-7, 1980.

Lang, S. Algebra, rev. 3rd ed. New York: Springer Verlag, pp. 158-159, 2002.

Mac Lane, S. Categories for the Working Mathematician. New York: Springer Verlag, pp. 202-204, 1971.

Munkres, J. R. Elements of Algebraic Topology. New York: Perseus Books Pub.,p. 141, 1993.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجلة تسليم تدعو الباحثين والأكاديميين للمشاركة في أعدادها القادمة

المجمع العلمي يواصل إقامة محاضراته الأسبوعية في مقام الإمام المهدي (عجل الله فرجه)

جامعة الكفيل تطلق الدورة التدريبية الصيفية لطلبة كلية الهندسة التقنية

استعدادًا لزيارة الأربعين العتبة العباسية المقدسة تعقد الورشة التنسيقية الرابعة الخاصة بمراكز إرشاد التائهين

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة علمية تكشف مفاجأة حول الأسباب الحقيقية للسمنة

دراسة: الأطباء يتجاهلون "سببا شائعا" لارتفاع ضغط الدم

نظامك الغذائي غني بالبروتين؟.. احذر هذه الآثار الجانبية

لا تتجاهلها.. أعراض تنذرك بأنك مهدد بالإصابة بالسكري

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ISOFIX: معيار الأمان الذهبي لمقاعد الأطفال في السيارات

هل المحرك الأكبر دائمًا الأفضل للسيارة؟

اختبارات ناجحة لمحرك "VK-800" الروسي وتطويره لطائرة بايكال الخفيفة

رئيس إنفيديا: الذكاء الاصطناعي الصيني "محفز للتقدم العالمي"

المزيد