Mann's theorem is a theorem widely circulated as the " conjecture" that was subsequently proven by Mann (1942). It states that if  and  are sets of integers each containing 0, then

{1,sigma(A)+sigma(B)}. " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/NumberedEquation1.gif" style="height:15px; width:198px" />

Here,  denotes the direct sum, i.e., {a+b:a in A,b in B}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/Inline5.gif" style="height:15px; width:169px" />, and  is the Schnirelmann density.

Mann's theorem is optimal in the sense that {0,1,11,12,13,...}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/Inline7.gif" style="height:15px; width:172px" /> satisfies .

Mann's theorem implies Schnirelmann's theorem as follows. Let {0,1} union {p:p prime}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/Inline9.gif" style="height:15px; width:150px" />, then Mann's theorem proves that , so as more and more copies of the primes are included, the Schnirelmann density increases at least linearly, and so reaches 1 with at most  copies of the primes. Since the only sets with Schnirelmann density 1 are the sets containing all positive integers, Schnirelmann's theorem follows.

REFERENCES:

Garrison, B. K. "A Nontransformation Proof of Mann's Density Theorem." J. reine angew. Math. 245, 41-46, 1970.

Khinchin, A. Y. "The Landau-Schnirelmann Hypothesis and Mann's Theorem." Ch. 2 in Three Pearls of Number Theory. New York: Dover, pp. 18-36, 1998.

Mann, H. B. "A Proof of the Fundamental Theorem on the Density of Sets of Positive Integers." Ann. Math. 43, 523-527, 1942.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجلة تسليم تدعو الباحثين والأكاديميين للمشاركة في أعدادها القادمة

المجمع العلمي يواصل إقامة محاضراته الأسبوعية في مقام الإمام المهدي (عجل الله فرجه)

جامعة الكفيل تطلق الدورة التدريبية الصيفية لطلبة كلية الهندسة التقنية

استعدادًا لزيارة الأربعين العتبة العباسية المقدسة تعقد الورشة التنسيقية الرابعة الخاصة بمراكز إرشاد التائهين

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة علمية تكشف مفاجأة حول الأسباب الحقيقية للسمنة

دراسة: الأطباء يتجاهلون "سببا شائعا" لارتفاع ضغط الدم

نظامك الغذائي غني بالبروتين؟.. احذر هذه الآثار الجانبية

لا تتجاهلها.. أعراض تنذرك بأنك مهدد بالإصابة بالسكري

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ISOFIX: معيار الأمان الذهبي لمقاعد الأطفال في السيارات

هل المحرك الأكبر دائمًا الأفضل للسيارة؟

اختبارات ناجحة لمحرك "VK-800" الروسي وتطويره لطائرة بايكال الخفيفة

رئيس إنفيديا: الذكاء الاصطناعي الصيني "محفز للتقدم العالمي"

المزيد