Mann's theorem is a theorem widely circulated as the " conjecture" that was subsequently proven by Mann (1942). It states that if  and  are sets of integers each containing 0, then

{1,sigma(A)+sigma(B)}. " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/NumberedEquation1.gif" style="height:15px; width:198px" />

Here,  denotes the direct sum, i.e., {a+b:a in A,b in B}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/Inline5.gif" style="height:15px; width:169px" />, and  is the Schnirelmann density.

Mann's theorem is optimal in the sense that {0,1,11,12,13,...}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/Inline7.gif" style="height:15px; width:172px" /> satisfies .

Mann's theorem implies Schnirelmann's theorem as follows. Let {0,1} union {p:p prime}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/Inline9.gif" style="height:15px; width:150px" />, then Mann's theorem proves that , so as more and more copies of the primes are included, the Schnirelmann density increases at least linearly, and so reaches 1 with at most  copies of the primes. Since the only sets with Schnirelmann density 1 are the sets containing all positive integers, Schnirelmann's theorem follows.

REFERENCES:

Garrison, B. K. "A Nontransformation Proof of Mann's Density Theorem." J. reine angew. Math. 245, 41-46, 1970.

Khinchin, A. Y. "The Landau-Schnirelmann Hypothesis and Mann's Theorem." Ch. 2 in Three Pearls of Number Theory. New York: Dover, pp. 18-36, 1998.

Mann, H. B. "A Proof of the Fundamental Theorem on the Density of Sets of Positive Integers." Ann. Math. 43, 523-527, 1942.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

العتبة العباسية المقدسة تواصل تنظيم مجالس العزاء الصباحية بذكرى زيارة عاشوراء

مواكب العزاء تستذكر في التاسع من شهر المحرم شهادة عبدالله الرضيع بن الحسين (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تستذكر تضحيات القاسم بن الحسن (عليهما السلام)

شعبة الحرم الشريف تواصل تنفيذ خطتها الخاصة بشهر المحرّم داخل مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد