Mann's theorem is a theorem widely circulated as the " conjecture" that was subsequently proven by Mann (1942). It states that if  and  are sets of integers each containing 0, then

{1,sigma(A)+sigma(B)}. " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/NumberedEquation1.gif" style="height:15px; width:198px" />

Here,  denotes the direct sum, i.e., {a+b:a in A,b in B}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/Inline5.gif" style="height:15px; width:169px" />, and  is the Schnirelmann density.

Mann's theorem is optimal in the sense that {0,1,11,12,13,...}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/Inline7.gif" style="height:15px; width:172px" /> satisfies .

Mann's theorem implies Schnirelmann's theorem as follows. Let {0,1} union {p:p prime}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/MannsTheorem/Inline9.gif" style="height:15px; width:150px" />, then Mann's theorem proves that , so as more and more copies of the primes are included, the Schnirelmann density increases at least linearly, and so reaches 1 with at most  copies of the primes. Since the only sets with Schnirelmann density 1 are the sets containing all positive integers, Schnirelmann's theorem follows.

REFERENCES:

Garrison, B. K. "A Nontransformation Proof of Mann's Density Theorem." J. reine angew. Math. 245, 41-46, 1970.

Khinchin, A. Y. "The Landau-Schnirelmann Hypothesis and Mann's Theorem." Ch. 2 in Three Pearls of Number Theory. New York: Dover, pp. 18-36, 1998.

Mann, H. B. "A Proof of the Fundamental Theorem on the Density of Sets of Positive Integers." Ann. Math. 43, 523-527, 1942.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الدينية يواصل إقامة محاضراته الفقهية في صحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

أكاديمية التطوير الإداري تنظم دورة في أمن المعلومات واستخدام تطبيقات الذكاء الاصطناعي

بذكرى وفاتها.. قسم الشؤون الفكريّة يستعرض إصدارًا عن خطاب السيدة زينب (عليها السلام) وتأثيره

قسم الشؤون الدينية يقيم دورة تطويرية لمنتسبي قسمي الحزام الأخضر الشمالي والجنوبي

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف أفضل مكمل غذائي لتحسين المزاج ودعم الصحة النفسية

دراسة جديدة تكشف أضرار الأطعمة الجاهزة على القلب ؟

6 أطعمة طبيعية تهدئ الزكام دون أدوية.. تعرف عليهم

ماذا يحدث لأعراض الزكام عند تناول الثوم بانتظام؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ابتكار ثوري في بطاريات السيارات الكهربائية.. سعة أعلى 4 مرات

ماذا يحدث لجسمك عند شرب الماء الساخن يوميا؟

7 فوائد "خفية" لشرب شاي الكركديه كل يوم

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

المزيد