المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24
من آداب التلاوة
2024-11-24
مواعيد زراعة الفجل
2024-11-24
أقسام الغنيمة
2024-11-24
سبب نزول قوله تعالى قل للذين كفروا ستغلبون وتحشرون الى جهنم
2024-11-24


Legendre,s Formula  
  
496   05:37 مساءً   date: 25-8-2020
Author : Séroul, R.
Book or Source : Legendre,s Formula" and "Implementation of Legendre,s Formula." §8.7.1 and 8.7.2 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag
Page and Part : pp. 175-179


Read More
Date: 19-10-2019 847
Date: 2-5-2020 627
Date: 18-8-2020 2353

Legendre's Formula

Legendre's formula counts the number of positive integers less than or equal to a number x which are not divisible by any of the first a primes,

 phi(x,a)=|_x_|-sum|_x/(p_i)_|+sum|_x/(p_ip_j)_|-sum|_x/(p_ip_jp_k)_|+...,

(1)

where |_x_| is the floor function. Taking a=pi(sqrt(x)), where pi(n) is the prime counting function, gives

 phi(x,pi(sqrt(x)))=pi(x)-pi(sqrt(x))+1=|_x_|-sum_(p_i<=sqrt(x))|_x/(p_i)_|+sum_(p_i<p_j<=sqrt(x))|_x/(p_ip_j)_|-sum_(p_i<p_j<p_k<=sqrt(x))|_x/(p_ip_jp_k)_|+....

(2)

Legendre's formula holds since one more than the number of primes in a range equals the number of integers minus the number of composites in the interval.

Legendre's formula satisfies the recurrence relation

 phi(x,a)=phi(x,a-1)-phi(x/(p_a),a-1).

(3)

Let m_k=p_1p_2...p_k, then

phi(m_k,k) = |_m_k_|-sum|_(m_k)/(p_i)_|+sum|_(m_k)/(p_ip_j)_|-...

(4)

= m_k-sum(m_k)/(p_i)+sum(m_k)/(p_ip_j)-...

(5)

= m_k(1-1/(p_1))(1-1/(p_2))...(1-1/(p_k))

(6)

= product_(i=1)^(k)(p_i-1)

(7)

= phi(m_k),

(8)

where phi(n) is the totient function, and

 phi(sm_k+t,k)=sphi(m_k)+phi(t,k),

(9)

where 0<=t<=m_k. If t>m_k/2, then

 phi(t,k)=phi(m_k)-phi(m_k-t-1,k).

(10)

Note that phi(n,n) is not practical for computing pi(n) for large arguments. A more efficient modification is Meissel's formula.


REFERENCES:

Séroul, R. "Legendre's Formula" and "Implementation of Legendre's Formula." §8.7.1 and 8.7.2 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 175-179, 2000.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.