The number  of digits  in the base- representation of a number  is called the -ary digit count for . The digit count is implemented in the Wolfram Language as DigitCount[n, b, d].

The number of 1s  in the binary representation of a number , illustrated above, is given by

			(1)
			(2)

where  is the greatest dividing exponent of 2 with respect to . This is a special application of the general result that the power of a prime  dividing a factorial (Vardi 1991, Graham et al. 1994). Writing  for , the number of 1s is also given by the recurrence relation

			(3)
			(4)

with , and by

(5)

where  is the denominator of

(6)

For , 2, ..., the first few values are 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, ... (OEIS A000120; Smith 1966, Graham 1970, McIlroy 1974).

For a binary number, the count of 1s  is equal to the digit sum . The quantity  is called the parity of a nonnegative integer .

 and  satisfy the beautiful identities

			(7)
			(8)

where  is the Euler-Mascheroni constant and  (OEIS A094640) is its "alternating analog" (Sondow 2005).

Let  and  be the numbers of even and odd digits respectively of . Then

			(9)
			(10)
			(11)

where the latter (OEIS A096614) is transcendental (Borwein et al. 2004, pp. 14-15).

REFERENCES:

Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.

Graham, R. L. "On Primitive Graphs and Optimal Vertex Assignments." Ann. New York Acad. Sci. 175, 170-186, 1970.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. "Factorial Factors." §4.4 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 111-115, 1994.

McIlroy, M. D. "The Number of 1's in Binary Integers: Bounds and Extremal Properties." SIAM J. Comput. 3, 255-261, 1974.

Sloane, N. J. A. Sequences A000120/M0105, A094640, A096614 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Smith, N. "Problem B-82." Fib. Quart. 4, 374-365, 1966.

Sondow, J. "New Vacca-type Rational Series for Euler's Constant and its 'alternating' Analog ." 1 Aug 2005. https://arxiv.org/abs/math.NT/0508042.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, p. 33, 2004. https://www.mathematicaguidebooks.org/.

Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 67, 1991.

Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 902, 2002.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يواصل إقامة مسابقة الثقلين القرآنية لطلبة مدارس كربلاء

عضو مجلس إدارة العتبة العباسية المقدسة يطلع على آليات تطوير البرامج التعليمية في مجموعة العميد

مجموعة مناحل الكفيل تختتم مشاركتها في معرض السليمانية الدولي للزراعة والصناعات الغذائية

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد