المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
من هم المحسنين؟
2024-11-23
ما هي المغفرة؟
2024-11-23
{ليس لك من الامر شيء}
2024-11-23
سبب غزوة أحد
2024-11-23
خير أئمة
2024-11-23
يجوز ان يشترك في الاضحية اكثر من واحد
2024-11-23

سلام بن المستنير الجعفي
5-11-2017
معنى كلمة ثعب
9-12-2015
تحضير 12،10-دوكوساداياين-22،1-دايوايل كلورايد و 12،10-هبتاكوساداياين-1-كلوريد
2024-03-10
سهل بن هارون
8-10-2015
Rules and constraints
17-3-2022
Forms and types
2023-04-19

Devil,s Staircase  
  
547   01:42 صباحاً   date: 24-7-2020
Author : Adams, W. W.
Book or Source : "A Remarkable Class of Continued Fractions." Proc. Amer. Math. Soc. 65
Page and Part : ...


Read More
Date: 13-8-2020 751
Date: 27-9-2020 1764
Date: 10-10-2020 786

Devil's Staircase

DevilsStaircase

A plot of the map winding number W resulting from mode locking as a function of Omega for the circle map

 theta_(n+1)=theta_n+Omega-K/(2pi)sin(2pitheta_n)

(1)

with K=1. (Since the circle map becomes mode-locked, the map winding number is independent of the initial starting argument theta_0.) At each value of Omega, the map winding number is some rational number. The result is a monotonic increasing "staircase" for which the simplest rational numbers have the largest steps. The Devil's staircase continuously maps the interval [0,1] onto [0,1], but is constant almost everywhere (i.e., except on a Cantor set).

For K=1, the measure of quasiperiodic states (Omega irrational) on the Omega-axis has become zero, and the measure of mode-locked state has become 1. The dimension of the Devil's staircase  approx 0.8700+/-3.7×10^(-4).

DevilsStaircaseFloor

Another type of devil's staircase occurs for the sum

 f(x)=sum_(n=1)^infty(|_nx_|)/(2^n)

(2)

for x in [0,1], where |_x_| is the floor function (Böhmer 1926ab; Kuipers and Niederreiter 1974, p. 10; Danilov 1974; Adams 1977; Davison 1977; Bowman 1988; Borwein and Borwein 1993; Bowman 1995; Bailey and Crandall 2001; Bailey and Crandall 2003). This function is monotone increasing and continuous at every irrational x but discontinuous at every rational xf(x) is irrational iff x is, and if x is irrational, then f(x) is transcendental. If x=p/q is rational, then

 f(x)=1/(2^q-1)+sum_(m=1)^infty1/(2^(|_m/x_|)),

(3)

while if x is irrational,

 f(x)=sum_(m=1)^infty1/(2^(|_m/x_|)).

(4)

Even more amazingly, for irrational x with simple continued fraction [0,a_1,a_2,...] and convergents p_n/q_n,

 f(x)=[0,A_1,A_2,A_3,...],

(5)

where

 A_n=2^(q_(n-2))(2^(a_nq_(n-1))-1)/(2^(q_(n-1))-1)

(6)

(Bailey and Crandall 2001). This gives the beautiful relation to the Rabbit constant

 f(phi^(-1))=[0,2^(F_0),2^(F_1),2^(F_2),...],

(7)

where phi is the golden ratio and F_n is a Fibonacci number.


REFERENCES:

Adams, W. W. "A Remarkable Class of Continued Fractions." Proc. Amer. Math. Soc. 65, 194-198, 1977.

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Exper. Math. 10, 175-190, 2001.

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "Random Generators and Normal Numbers." Exper. Math. 11, 527-546, 2002.

Böhmer, P. E. "Über die Transcendenz gewisser dyadischer Brüche." Math. Ann. 96, 367-377, 1926a.

Böhmer, P. E. Erratum to "Über die Transcendenz gewisser dyadischer Brüche." Math. Ann. 96, 735, 1926b.

Borwein, J. and Borwein, P. "On the Generating Function of the Integer Part of |_nalpha+gamma_|." J. Number Th. 43, 293-318, 1993.

Bowman, D. "A New Generalization of Davison's Theorem." Fib. Quart. 26, 40-45, 1988.

Bowman, D. "Approximation of |_nalpha+s_| and the Zero of {nalpha+s}." J. Number Th. 50, 128-144, 1995.

Danilov, L. V. "Some Classes of Transcendental Numbers." Math. Notes Acad. Sci. USSR 12, 524-527, 1974.

Davison, J. L. "A Series and Its Associated Continued Fraction." Proc. Amer. Math. Soc. 63, 29-32, 1977.

Devaney, R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Redwood City, CA: Addison-Wesley, pp. 109-110, 1987.

Kuipers, L. and Niederreiter, H. Uniform Distribution of Sequences. New York: Wiley, 1974.

Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman, pp. 82-83 and 286-287, 1983.

Ott, E. Chaos in Dynamical Systems. New York: Cambridge University Press, 1993.

Rasband, S. N. "The Circle Map and the Devil's Staircase." §6.5 in Chaotic Dynamics of Nonlinear Systems. New York: Wiley, pp. 128-132, 1990.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.