المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تربية أنواع ماشية اللحم
2024-11-05
زكاة الذهب والفضة
2024-11-05
ماشية اللحم في الولايات المتحدة الأمريكية
2024-11-05
أوجه الاستعانة بالخبير
2024-11-05
زكاة البقر
2024-11-05
الحالات التي لا يقبل فيها الإثبات بشهادة الشهود
2024-11-05

شروط الصداقة
9-5-2020
ملكية الطرقات ومشروعيتها
21-1-2016
ذكر علي عبادة
2024-02-06
مرض العـفن الرمادي في الطماطم
20-3-2016
Unstressed vowels
2024-02-23
Dipolar Interactions
14-8-2016

Divisor  
  
1337   07:27 صباحاً   date: 26-6-2020
Author : Dickson, L. E.
Book or Source : History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, 2005.
Page and Part : ...


Read More
Date: 20-2-2020 575
Date: 9-8-2020 559
Date: 1-2-2021 1912

Divisor  

A divisor, also called a factor, of a number n is a number d which divides n (written d|n). For integers, only positive divisors are usually considered, though obviously the negative of any positive divisor is itself a divisor. A list of (positive) divisors of a given integer n may be returned by the Wolfram Language function Divisors[n].

Sums and products are commonly taken over only some subset of values that are the divisors of a given number. Such a sum would then be denoted, for example,

 sum_(d|n)f(d).

(1)

Such sums are implemented in the Wolfram Language as DivisorSum[nformcond].

The following tables lists the divisors of the first few positive integers (OEIS A027750).

n divisors
1 1
2 1, 2
3 1, 3
4 1, 2, 4
5 1, 5
6 1, 2, 3, 6
7 1, 7
8 1, 2, 4, 8
9 1, 3, 9
10 1, 2, 5, 10
11 1, 11
12 1, 2, 3, 4, 6, 12
13 1, 13
14 1, 2, 7, 14
15 1, 3, 5, 15

The total number of divisors for a given number n (variously written d(n)sigma_0(n), or nu(n)) can be found as follows. Write a number in terms of its prime factorization

 n=p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_r^(alpha_r).

(2)

For any divisor d of n where

 d=p_1^(delta_1)p_2^(delta_2)...p_r^(delta_r),

(3)

so

(4)

Now, delta_1=0,1,...,alpha_1, so there are alpha_1+1 possible values. Similarly, for delta_n, there are alpha_n+1 possible values, so the total number of divisors d(n) of n is given by

(5)

The product of divisors can be found by writing the number n in terms of all possible products

(6)

so

n^(nu(n)) =

(7)

=

(8)

=

(9)

and

(10)

The geometric mean of divisors is

G = (productd)^(1/nu(n))

(11)

=

(12)

= sqrt(n).

(13)

The arithmetic mean is

 A(n)=(sigma(n))/(nu(n)).

(14)

The harmonic mean is

 1/H=1/(nu(n))(sum1/d).

(15)

But , so  and

sum1/d =

(16)

= 1/nsumd

(17)

= (sigma(n))/n,

(18)

and we have

 1/(H(n))=1/(nu(n))(sigma(n))/n=(A(n))/n

(19)

 n=A(n)H(n).

(20)

Given three integers chosen at random, the probability that no common factor will divide them all is

 [zeta(3)]^(-1) approx 1.20206^(-1) approx 0.831907,

(21)

where zeta(3) is Apéry's constant.

The smallest numbers having exactly 0, 1, 2, ... divisors (other than 1) are 1, 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, ... (OEIS A005179; Minin 1883-84; Grost 1968; Roberts 1992, p. 86; Dickson 2005, pp. 51-52). Fontené (1902) and Chalde (1903) showed that if  is the prime factorization of the least number with a given number of divisors, then (1) alpha_(r-1) is prime, (2) alpha_r is prime except for the number 2^3·3 which has 8 divisors (Dickson 2005, p. 52).

Let f(n) be the number of elements in the greatest subset of [1,n] such that none of its elements are divisible by two others. For n sufficiently large,

 0.6725...<=(f(n))/n<=0.673...

(22)

(Le Lionnais 1983, Lebensold 1976/1977).


REFERENCES:

Chalde. Nouv. Ann. Math. 3, 471-473, 1903.

Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, 2005.

Fontené, G. Nouv. Ann. Math. 2, 288, 1902.

Grost, M. E. "The Smallest Number with a Given Number of Divisors." Amer. Math. Monthly 75, 725-729, 1968.

Guy, R. K. "Solutions of d(n)=d(n+1)." §B18 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 73-75, 1994.

Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 43, 1983.

Lebensold, K. "A Divisibility Problem." Studies Appl. Math. 56, 291-294, 1976/1977.

Minin, A. P. Math. Soc. Moscow 11, 632, 1883-84.

Nagell, T. "Divisors." §1 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 11-12, 1951.

Roberts, J. The Lure of the Integers. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1992.

Sloane, N. J. A. Sequences A005179/M1026 and A027750 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.