The conjecture that there are only finitely many triples of relatively prime integer powers , ,  for which

(1)

with

(2)

Darmon and Merel (1997) have shown that there are no relatively prime solutions  with . Ten solutions are known,

(3)

for , and

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

(Mauldin 1997).

The following table summarizes known solutions (Poonen et al. 2005). Any remaining solutions would satisfy the Tijdeman-Zagier conjecture, also known popularly as Beal's conjecture (Elkies 2007).

exponents	reference
(2, 3, 7)	Poonen et al. (2005)
	Wiles
(2, 3, 8), (2, 3, 9), (2, 4, 5),	Bruin (2004)
(2, 4, 6), (3, 3, 4), (3, 3, 5)
(2, 4, 7)	Ghioca
,	Darmon-Merel
	Bennett
	Bennett-Skinner

It is not known if the analogous conjecture for , , and  Gaussian integers holds. Known solutions include

			(13)
			(14)

(E. Pegg Jr., pers. comm., March 30, 2002).

REFERENCES:

Bruin, N. "Visualising Sha[2] in Abelian Surfaces." Math. Comput. 73, 1459--1476, 2004.

Darmon, H. and Granville, A. "On the Equations  and ." Bull. London Math. Soc. 27, 513-543, 1995.

Darmon, H. and Merel, L. "Winding Quotients and Some Variants of Fermat's Last Theorem." J. reine angew. Math. 490, 81-100, 1997.

Elkies, N. "The ABCs of Number Theory." Harvard Math. Rev. 1, 64-76, 2007.

Mauldin, R. D. "A Generalization of Fermat's Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem." Not. Amer. Math. Soc. 44, 1436-1437, 1997.

Poonen, B.; Schaefer, E. F.; and Stoll, M. "Twists of  and Primitive Solutions to ." 10 Aug 2005. https://arxiv.org/abs/math/0508174.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

بحضور متولّيها الشرعيّ.. العتبة العباسية المقدسة تطلق المرحلة الثانية من القرعة العلنية لتوزيع قطع أراضي مدينة القمر السكنية لمنتسبيها

بحضور الأمين العام للعتبة العباسية المقدسة.. المجمَع العلمي يُقيم أمسية رمضانيّة في النجف الأشرف

لخدمة الأهالي والزائرين.. قسم المشاريع الهندسية يواصل أعمال إنشاء محطة لتصفية المياه بسعة 500 متر مكعب في الساعة

معهد القرآن الكريم النسوي يختتم جلساته القرآنية الرمضانية

المزيد

الآخبار الصحية

كوب قبل النوم.. مشروب طبيعي يحارب الأرق

دون أدوية.. طريقة طبيعية لخفض ضغط الدم بفعالية مذهلة

المعكرونة ليست عدوك.. كيف تصبح جزءا من وجبة صحية متوازنة؟

دراسة: تناول القهوة يوميا يخفض خطر الإصابة بالاضطرابات النفسية

المزيد

الآخبار التكنلوجية

علماء روس يخططون لبناء منشأة للكشف عن المادة المظلمة

ثاني أكسيد الكربون ليس تهديدا للمناخ فقط.. بل لصحة الإنسان أيضا!

ديدان الأرض تكشف تلوث التربة بالمعادن الثقيلة

خبير أرصاد جوية: ظاهرة النينيو القادمة قد تكون الأقوى خلال 10 سنوات

المزيد