المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية
ENGLISH
آخر المواضيع المضافة

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
أضيف حديثاً
من هم المحسنين؟
2024-11-23
ما هي المغفرة؟
2024-11-23
{ليس لك من الامر شيء}
2024-11-23
سبب غزوة أحد
2024-11-23
خير أئمة
2024-11-23
يجوز ان يشترك في الاضحية اكثر من واحد
2024-11-23

وثائقيات
العباءة العربية .. إرث الآباء واعتزاز الأبناء
التاريخ / 20-09-2024

مختارات
Future Simple
31-3-2021
The short vowels PRICE
2024-04-19
كيف تخرج معظم الحشرات الكاملة من العذارى؟
5-2-2021
نقطة السيطرة Restriction Point في الخلايا الحيوانية
12-10-2017
مـبـادئ التـخـطيـط السـتـراتيـجـي للمـبيعـات
2024-03-20
التغذية الالتهامية Phagotrophy
28-7-2019

Diophantine Equation--3rd Powers  
  
1593   04:10 مساءً   date: 20-5-2020
Author : Berndt, B. C.
Book or Source : Ramanujan,s Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, 1994
Page and Part : ...


Read More
Quasiperfect Number
Date: 29-11-2020 692
Artin,s Constant
Date: 11-3-2020 889
Euler,s Totient Theorem
Date: 8-1-2020 577

Diophantine Equation--3rd Powers

As a part of the study of Waring's problem, it is known that every positive integer is a sum of no more than 9 positive cubes (g(3)=9), that every "sufficiently large" integer is a sum of no more than 7 positive cubes (G(3)<=7; although it is not known if 7 can be reduced), and that every integer is a sum of at most 5 signed cubes (eg(3)<=5; although it is not known if 5 can be reduced to 4).

It is known that every n can be written in the form

n=A^2+B^2-C^3.

(1)

An elliptic curve of the form y^2=x^3+n for n an integer is known as a Mordell curve.

The 3.1.2 equation

A^3=B^3+C^3

(2)

is a case of Fermat's last theorem with n=3. In fact, this particular case was known not to have any solutions long before the general validity of Fermat's last theorem was established. Thue showed that a Diophantine equation of the form

AX^3-BY^3=l

(3)

for A, B, and l integers, has only finite many solutions (Hardy 1999, pp. 78-79).

Miller and Woollett (1955) and Gardiner et al. (1964) investigated integer solutions of

A^3+B^3+C^3=D,

(4)

i.e., numbers representable as the sum of three (positive or negative) cubic numbers.

The general rational solution to the 3.1.3 equation

A^3=B^3+C^3+D^3

(5)

was found by Euler and Vieta (Hardy 1999, pp. 20-21; Dickson 2005, pp. 550-554). Hardy and Wright (1979, pp. 199-201) give a solution which can be based on the identities

a^3(a^3+b^3)^3 = b^3(a^3+b^3)^3+a^3(a^3-2b^3)^3+b^3(2a^3-b^3)^3

(6)
a^3(a^3+2b^3)^3 = a^3(a^3-b^3)^3+b^3(a^3-b^3)^3+b^3(2a^3+b^3)^3.

(7)

This is equivalent to the general 3.2.2 solution found by Ramanujan (Berndt 1994, pp. 54 and 107; Hardy 1999, p. 11, 68, and 237; Dickson 2005, pp. 500 and 554). A partial quadratic form identity was also given by Ramanujan (Berndt 1994, p. 56)

(3x^2+5xy-5y^2)^3+(4x^2-4xy+6y^2)^3+(5x^2-5xy-3y^2)^3 =(6x^2-4xy+4y^2)^3,

(8)

the first instance of which gives the nice equation 3^3+4^3+5^3=6^3=216, which is one of Plato's numbers. Such partial quadratic form parametrizations can be found using the identity

(ax^2+v_1xy+bwy^2)^3+(bx^2-v_1xy+awy^2)^3+(cx^2+v_2xy+dwy^2)^3+(dx^2-v_2xy+cwy^2)^3 =(a^3+b^3+c^3+d^3)(x^2+wy^2)^3,

(9)

where v_1=-(c^2-d^2), v_2=a^2-b^2, and w=(a+b)(c+d), and is reduced to finding solutions to a^3+b^3+c^3+d^3=0 (or the sum may be any number of cubes), which is just a special case of an even more general identity (Piezas 2005).

The 22 smallest integer solutions are

3^3+4^3+5^3 = 6^3

(10)
1^3+6^3+8^3 = 9^3

(11)
3^3+10^3+18^3 = 19^3

(12)
7^3+14^3+17^3 = 20^3

(13)
4^3+17^3+22^3 = 25^3

(14)
18^3+19^3+21^3 = 28^3

(15)
11^3+15^3+27^3 = 29^3

(16)
2^3+17^3+40^3 = 41^3

(17)
6^3+32^3+33^3 = 41^3

(18)
16^3+23^3+41^3 = 44^3

(19)
3^3+36^3+37^3 = 46^3

(20)
27^3+30^3+37^3 = 46^3

(21)
29^3+34^3+44^3 = 53^3

(22)
12^3+19^3+53^3 = 54^3

(23)
15^3+42^3+49^3 = 58^3

(24)
22^3+51^3+54^3 = 67^3

(25)
36^3+38^3+61^3 = 69^3

(26)
7^3+54^3+57^3 = 70^3

(27)
14^3+23^3+70^3 = 71^3

(28)
34^3+39^3+65^3 = 72^3

(29)
38^3+43^3+66^3 = 75^3

(30)
31^3+33^3+72^3 = 76^3.

(31)

Other small solutions include

28^3+53^3+75^3 = 84^3

(32)
26^3+55^3+78^3 = 87^3

(33)
33^3+70^3+92^3 = 105^3

(34)
1^3+71^3+138^3 = 144^3

(35)
1^3+135^3+138^3 = 172^3

(36)
1^3+372^3+426^3 = 505^3

(37)
1^3+426^3+486^3 = 577^3

(38)
1^3+566^3+823^3 = 904^3

(39)
1^3+242^3+720^3 = 729^3

(40)
1^3+791^3+812^3 = 1010^3

(41)
1^3+236^3+1207^3 = 1210^3

(42)
1^3+575^3+2292^3 = 2304^3

(43)
1^3+1938^3+2820^3 = 3097^3

(44)
1^3+2676^3+3230^3 = 3753^3

(45)
1^3+1124^3+5610^3 = 5625^3

(46)
1^3+2196^3+5984^3 = 6081^3

(47)
1^3+1943^3+6702^3 = 6756^3

(48)
1^3+1851^3+8675^3 = 8703^3

(49)

(Fredkin 1972; Madachy 1979, pp. 124 and 141; Dutch). A database with sum z^3 for all z<1000000 is maintained by Wroblewski.

Other general solutions have been found by Binet (1841) and Schwering (1902), although Ramanujan's formulation is the simplest. No general solution giving all positive integral solutions is known (Dickson 2005, pp. 550-561). Y. Kohmoto has found a 3.1.3^9 solution,

2100000^3 = 2046000^3+882000^3+216000^3

(50)
= 1979600^3+1145400^3+85000^3

(51)
= 2081100^3+628110^3+1890^3

(52)
= 2043150^3+901200^3+30450^3

(53)
= 2002280^3+1072480^3+30360^3

(54)
= 1960480^3+1199520^3+15200^3

(55)
= 1948800^3+1229760^3+30240^3

(56)
= 2078160^3+658812^3+13188^3

(57)
= 2009112^3+1048040^3+13888^3.

(58)

3.1.4 equations include

11^3+12^3+13^3+14^3 = 20^3

(59)
5^3+7^3+9^3+10^3 = 13^3.

(60)

3.1.5 equations include

1^3+3^3+4^3+5^3+8^3 = 9^3

(61)
3^3+4^3+5^3+8^3+10^3 = 12^3,

(62)

and a 3.1.6 equation is given by

1^3+5^3+6^3+7^3+8^3+10^3=13^3.

(63)

The 3.2.2 equation

A^3+B^3=C^3+D^3

(64)

has a known parametric solution (Guy 1994, p. 140; Dickson 2005, pp. 550-554), and 10 solutions with sum <10^5,

1729 = 1^3+12^3=9^3+10^3

(65)
4104 = 2^3+16^3=9^3+15^3

(66)
13832 = 2^3+24^3=18^3+20^3

(67)
20683 = 10^3+27^3=19^3+24^3

(68)
32832 = 4^3+32^3=18^3+30^3

(69)
39312 = 2^3+34^3=15^3+33^3

(70)
40033 = 9^3+34^3=16^3+33^3

(71)
46683 = 3^3+36^3=27^3+30^3

(72)
64232 = 17^3+39^3=26^3+36^3

(73)
65728 = 12^3+40^3=31^3+33^3

(74)

(OEIS A001235; Moreau 1898). The first number (Madachy 1979, pp. 124 and 141) in this sequence, the so-called Hardy-Ramanujan number, is associated with a story told about Ramanujan by G. H. Hardy, but was known as early as 1657 (Berndt and Bhargava 1993). The smallest number representable in n ways as a sum of cubes is called the nth taxicab number.

Ramanujan gave a general solution to the 3.2.2 equation as

(alpha+lambda^2gamma)^3+(lambdabeta+gamma)^3=(lambdaalpha+gamma)^3+(beta+lambda^2gamma)^3

(75)

where

alpha^2+alphabeta+beta^2=3lambdagamma^2

(76)

(Berndt and Bhargava 1993; Berndt 1994, p. 107). Another form due to Ramanujan is

(A^2+7AB-9B^2)^3+(2A^2-4AB+12B^2)^3 =(2A^2+10B^2)^3+(A^2-9AB-B^2)^3.

(77)

Hardy and Wright (1979, Theorem 412) prove that there are numbers that are expressible as the sum of two cubes in n ways for any n (Guy 1994, pp. 140-141). The proof is constructive, providing a method for computing such numbers: given rationals numbers r and s, compute

t = (r(r^3+2s^3))/(r^3-s^3)

(78)
u = (s(2r^3+s^3))/(r^3-s^3)

(79)
v = (t(t^3-2u^3))/(t^3+u^3)

(80)
w = (u(2t^3-u^3))/(t^3+u^3).

(81)

Then

r^3+s^3=t^3-u^3=v^3+w^3

(82)

The denominators can now be cleared to produce an integer solution. If r/s is picked to be large enough, the v and w will be positive. If r/s is still larger, the v/w will be large enough for v and w to be used as the inputs to produce a third pair, etc. However, the resulting integers may be quite large, even for n=2. E.g., starting with 3^3+1^3=28, the algorithm finds

28=((28340511)/(21446828))^3+((63284705)/(21446828))^3,

(83)

giving

28·21446828^3 = (3·21446828)^3+21446828^3

(84)
= 28340511^3+63284705^3.

(85)

The numbers representable in three ways as a sum of two cubes (a 3.2^3 equation) are

87539319 = 167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3

(86)
119824488 = 11^3+493^3=90^3+492^3=346^3+428^3

(87)
143604279 = 111^3+522^3=359^3+460^3=408^3+423^3

(88)
175959000 = 70^3+560^3=198^3+552^3=315^3+525^3

(89)
327763000 = 300^3+670^3=339^3+661^3=510^3+580^3

(90)

(Guy 1994, OEIS A003825). Wilson (1997) found 32 numbers representable in four ways as the sum of two cubes (a 3.2^4 equation). The first is

6963472309248=2421^3+19083^3=5436^2+18948^3 =10200^3+18072^3=13322^3+16630^3.

(91)

The smallest known numbers so representable are 6963472309248, 12625136269928, 21131226514944, 26059452841000, ... (OEIS A003826). Wilson also found six five-way sums,

48988659276962496=38787^3+365757^3

(92)
=107839^3+362753^3

(93)
=205292^3+342952^3

(94)
=221424^3+336588^3

(95)
=231518^3+331954^3

(96)
490593422681271000=48369^3+788631^3

(97)
=233775^3+781785^3

(98)
=285120^3+776070^3

(99)
=543145^3+691295^3

(100)
=579240^3+666630^3

(101)
6355491080314102272=103113^3+1852215^3

(102)
=580488^3+1833120^3

(103)
=788724^3+1803372^3

(104)
=1150792^3+1690544^3

(105)
=1462050^3+1478238^3

(106)
27365551142421413376=167751^3+3013305^3

(107)
=265392^3+3012792^3

(108)
=944376^3+2982240^3

(109)
=1283148^3+2933844^3

(110)
=1872184^3+2750288^3

(111)
1199962860219870469632=591543^3+10625865^3

(112)
=935856^3+10624056^3

(113)
=3330168^3+10516320^3

(114)
=6601912^3+9698384^3

(115)
=8387550^3+8480418^3

(116)
111549833098123426841016=1074073^3+48137999^3

(117)
=8787870^3+48040356^3

(118)
=13950972^3+47744382^3

(119)
=24450192^3+45936462^3

(120)
=33784478^3+41791204^3,

(121)

and a single six-way sum

8230545258248091551205888 =11239317^3+201891435^3 =17781264^3+201857064^3 =63273192^3+199810080^3 =85970916^3+196567548^3 =125436328^3+184269296^3 =159363450^3+161127942^3.

(122)

A solution to the 3.4.4 equation is

2^3+3^3+10^3+11^3=1^3+5^3+8^3+12^3

(123)

(Madachy 1979, pp. 118 and 133).

3.6.6 equations also exist:

1^3+2^3+4^3+8^3+9^3+12^3=3^3+5^3+6^3+7^3+10^3+11^3

(124)
87^3+233^3+264^3+396^3+496^3+540^3

(125)
=90^3+206^3+309^3+366^3+522^3+523^3.

(126)

(Madachy 1979, p. 142; Chen Shuwen).

In 1756-1757, Euler (1761, 1849, 1915) gave a parametric solution to

A^3+B^3=C^2

(127)

as

A = 3n^3+6n^2-n

(128)
B = -3n^3+6n^2+n

(129)
C = 6n^2(3n^2+1),

(130)

although relatively prime solutions require the use of fractional values of n (Dickson 2005, p. 578). To avoid this, Euler also gave the solutions

A = 4mn(3m^2-3mn+n^2)

(131)
B = (m-n)(3m-n)(3m^2+n^2)

(132)
C = (3m^2-n^2)(9m^4-18m^3n+18m^2n^2-6mn^3+n^4)

(133)

for GCD(A+B,A^2-AB+B^2)=1, and

A = 3m^4+6m^2n^2-n^4

(134)
B = -3m^4+6m^2n^2+n^4

(135)
C = 6mn(3m^4+n^4)

(136)

for GCD(A+B,A^2-AB+B^2)=3 (Dickson 2005, p. 579).

REFERENCES:

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, 1994.

Berndt, B. C. and Bhargava, S. "Ramanujan--For Lowbrows." Amer. Math. Monthly 100, 645-656, 1993.

Binet, J. P. M. "Note sur une question relative à la théorie des nombres." C. R. Acad. Sci. (Paris) 12, 248-250, 1841.

Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, 2005.

Dutch, S. "Cubic Quartets with a, b, c<1000." https://www.uwgb.edu/dutchs/RECMATH/Cubesums.htm.

Euler, L. Novi. Comm. Acad. Petrop. 6 (ad annos 1756-1757), p. 181, 1761.

Euler, L. Comm. Arith. Coll. 1, 207, 1849.

Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 2. Leipzig, Germany: Teubner, p. 454, 1915.

Fredkin, E. Item 58 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 23, Feb. 1972. https://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item58.

Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; and Stein, P. R. "Solutions of the Diophantine Equation x^3+y^3=z^3-d." Math. Comput. 18, 408-413, 1964.

Guy, R. K. "Sums of Like Powers. Euler's Conjecture." §D1 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 139-144, 1994.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, 1979.

Koyama, K.; Tsuruoka, Y.; and Sekigawa, H. "On Searching for Solutions of the Diophantine Equation x^3+y^3+z^3=n." Math. Comput. 66, 841-851, 1997.

Kraus, A. "Sur l'équation a^3+b^3=c^p." Experim. Math. 7, 1-13, 1998.

Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, 1979.

Meyrignac, J.-C. "Computing Minimal Equal Sums of Like Powers." https://euler.free.fr.

Miller, J. C. P. and Woollett, M. F. C. "Solutions of the Diophantine Equation x^3+y^3+z^3=k." J. London Math. Soc. 30, 101-110, 1955.

Moreau, C. "Plus petit nombre égal à la somme de deux cubes de deux façons." L'Intermediaire Math. 5, 66, 1898.

Nagell, T. "The Diophantine Equation xi^3+eta^3+zeta^3=0 and Analogous Equations" and "Diophantine Equations of the Third Degree with an Infinity of Solutions." §65 and 66 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 241-248, 1951.

Piezas, T. "Ramanujan and the Cubic Equation 3^3+4^3+5^3=6^3." 2005. https://www.geocities.com/titus_piezas/RamCube.pdf.

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 048-p^3=a^3+b^3+c^3, pa,b,c Prime." https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_048.htm.

Schwering, K. "Vereinfachte Lösungen des Eulerschen Aufgabe: x^3+y^3+z^3+v^3=0." Arch. Math. Phys. 2, 280-284, 1902.

Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, p. 157, 1993.

Sloane, N. J. A. Sequences A001235 and A003825 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Wilson, D. Personal communication, Apr. 17, 1997.

Wroblewski, J. "Equal Sums of Powers--Tables." https://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/tables.htm.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





الأخبار الصحية
تفوقت في الاختبار على الجميع.. فاكهة "خارقة" في عالم التغذية
التاريخ / 2024-11-23

الأخبار العلمية
أمين عام أوبك: النفط الخام والغاز الطبيعي "هبة من الله"
التاريخ / 2024-11-23

الساحة الاسلامية
المجمع العلمي ينظّم ندوة حوارية حول مفهوم العولمة الرقمية في بابل
التاريخ / 2024-11-22