المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
{ان أولى الناس بإبراهيم للذين اتبعوه}
2024-10-31
{ما كان إبراهيم يهوديا ولا نصرانيا}
2024-10-31
أكان إبراهيم يهوديا او نصرانيا
2024-10-31
{ قل يا اهل الكتاب تعالوا الى كلمة سواء بيننا وبينكم الا نعبد الا الله}
2024-10-31
المباهلة
2024-10-31
التضاريس في الوطن العربي
2024-10-31


Coin Problem  
  
1733   04:56 مساءً   date: 18-5-2020
Author : Beck, M. and Robins, S
Book or Source : "The Coin-Exchange Problem of Frobenius." §C1 in Computing the Continuous Discretely. New York: Springer
Page and Part : ...


Read More
Date: 20-8-2020 703
Date: 31-10-2019 848
Date: 2-1-2021 2280

Coin Problem

Let there be n>=2 integers 0<a_1<...<a_n with GCD(a_1,a_2,...,a_n)=1. The values a_i represent the denominations of n different coins, where these denominations have greatest common divisor of 1. The sums of money that can be represented using the given coins are then given by

 N=sum_(i=1)^na_ix_i,

(1)

where the x_i are nonnegative integers giving the numbers of each coin used. If a_1=1, it is obviously possibly to represent any quantity of money N. However, in the general case, only some quantities N can be produced. For example, if the allowed coins are (2,5,10), it is impossible to represent N=1 and 3, although all other quantities can be represented.

Determining the function g(a_1,a_2,...,a_n) giving the greatest N=g(a_1,a_2,...,a_n) for which there is no solution is called the coin problem, or sometimes the money-changing problem. The largest such N for a given problem is called the Frobenius number g(a_1,a_2,...).

The result

g(a_1,a_2) = (a_1-1)(a_2-1)-1

(2)

= a_1a_2-(a_1+a_2)

(3)

(Nijenhuis and Wilf 1972) is mathematical folklore. The total number of such nonrepresentable amounts is given by

 1/2(N+1)=1/2(a_1-1)(a_2-1).

(4)

The largest nonrepresentable amounts g(a_1,a_2) for two coins with denominations a_1 and a_2 are summarized below.

a_1 a_2 g(a_1,a_2) a_1 a_2 g(a_1,a_2)
2 3 1 4 7 17
2 5 3 4 9 23
2 7 5 5 6 19
2 9 7 5 7 23
3 4 5 5 8 27
3 5 7 5 9 31
3 7 11 6 7 29
3 8 13 7 8 41
3 10 17 7 9 47
4 5 11 7 10 53

Fast algorithms are also known for three numbers, but the more general problem for an arbitrary number of numbers is known to be NP-hard if n is fixed (Kannan 1992) or n is variable (Ramírez-Alfonsín 1996).

There is no closed-form solution for n=3, although a semi-explicit solution is known which allows values to be computed quickly ((Selmer and Beyer 1978, Rödseth 1978, Greenberg 1988; Beck and Robins 2006). Values for small a_i are summarized below.

a g(a) a g(a)
(2,3,4) 1 (2,4,7) 5
(2,3,5) 1 (2,5,6) 3
(2,3,6) 1 (2,5,7) 3
(2,3,7) 1 (2,6,7) 5
(2,4,5) 3 (3,4,5) 2

No closed-form solution is known for n>4.


REFERENCES:

Beck, M. and Robins, S. "The Coin-Exchange Problem of Frobenius." §C1 in Computing the Continuous Discretely. New York: Springer, pp. 3-23, 2006. https://math.sfsu.edu/beck/ccd.html.

Berlekamp, E. R.; Conway, J. H; and Guy, R. K. Winning Ways for Your Mathematical Plays, Vol. 2: Games in Particular. London: Academic Press, 1982.

Brauer, A. "On a Problem of Partitions." Amer. J. Math. 64, 299-312, 1942.

Brauer, A. and Seelbinder, B. M. "On a Problem of Partitions. II." Amer. J. Math. 76, 343-346, 1954.

Davison, J. L. "On the Linear Diophantine Problem of Frobenius." J. Number Th. 48, 353-363, 1994.

Greenberg, H. "Solution to a Linear Diophantine Equation for Nonnegative Integers." J. Algorithms 9, 343-353, 1988.

Guy, R. K. "The Money-Changing Problem." §C7 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 113-114, 1994.

Kannan, R. "Lattice Translates of a Polytope and the Frobenius Problem." Combinatorica 12, 161-177, 1992.

Nabiyev, V. V. Algorithms: From Theory to Applications. Ankara, Turkey: Seckin, p. 799, 2007.

Nijenhuis, A. "A Minimal-Path Algorithm for the 'Money Changing Problem.' " Amer. Math. Monthly 86, 832-835, 1979.

Nijenhuis, A. and Wilf, H. S. "Representations of Integers by Linear Forms in Nonnegative Integers." J. Number Th. 4, 98-106, 1972.

Ramírez-Alfonsín, J. L. "Complexity of the Frobenius Problem." Combinatorica 16, 143-147, 1996.

Ramírez-Alfonsín, J. L. The Diophantine Frobenius Problem. Oxford, England: Oxford University Press, 2005.

Rødseth, Ø. J. "On a Linear Diophantine Problem of Frobenius." J. reine angew. Math. 301, 171-178, 1978.

Rødseth, Ø. J. "On a Linear Diophantine Problem of Frobenius. II." J. reine angew. Math. 307/308, 431-440, 1979.

Selmer, E. S. "The Linear Diophantine Problem of Frobenius." J. reine angew. Math. 293/294, 1-17, 1977.

Selmer, E. S. and Beyer, Ö. "On the Linear Diophantine Problem of Frobenius in Three Variables." J. reine angew. Math. 301, 161-170, 1978.

Sylvester, J. J. "Question 7382." Mathematical Questions from the Educational Times 41, 21, 1884.

 Wagon, S. "Greedy Coins." https://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/5187/.

Wilf, H. "A Circle of Lights Algorithm for the 'Money Changing Problem.' " Amer. Math. Monthly 85, 562-565, 1978.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.