The word "convergent" has a number of different meanings in mathematics.

Most commonly, it is an adjective used to describe a convergent sequence or convergent series, where it essentially means that the respective series or sequence approaches some limit (D'Angelo and West 2000, p. 259).

The rational number obtained by keeping only a limited number of terms in a continued fraction is also called a convergent. For example, in the simple continued fraction for the golden ratio,

(1)

the convergents are

(2)

Convergents are commonly denoted , ,  (ratios of integers), or  (a rational number).

Given a simple continued fraction , the th convergent is given by the following ratio of tridiagonal matrix determinants:

(3)

For example, the third convergent of  is

(4)

In the Wolfram Language, Convergents[terms] gives a list of the convergents corresponding to the specified list of continued fraction terms, while Convergents[x, n] gives the first  convergents for a number .

Consider the convergents  of a simple continued fraction , and define

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

Then subsequent terms can be calculated from the recurrence relations

			(9)
			(10)

, 2, ..., .

For a generalized continued fraction , the recurrence generalizes to

			(11)
			(12)

The continued fraction fundamental recurrence relation for a simple continued fraction is

(13)

It is also true that if ,

			(14)
			(15)

Furthermore,

(16)

Also, if a convergent , then

(17)

Similarly, if , then  and

(18)

The convergents  also satisfy

			(19)
			(20)

Plotted above on semilog scales are  ( even; left figure) and  ( odd; right figure) as a function of  for the convergents of . In general, the even convergents  of an infinite simple continued fraction for a number  form an increasing sequence, and the odd convergents  form a decreasing sequence (so any even convergent is less than any odd convergent). Summarizing,

(21)

(22)

Furthermore, each convergent for  lies between the two preceding ones. Each convergent is nearer to the value of the infinite continued fraction than the previous one. In addition, for a number ,

(23)

REFERENCES:

D'Angelo, J. P. and West, D. B. Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 2000.

Liberman, H. Simple Continued Fractions: An Elementary to Research Level Approach. SMD Stock Analysts, pp. II-9-II-10, 2003.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم حفظ النظام ينهي استعداداته الخاصة بحفل تخرج طالبات الجامعات العاشر

العتبة العباسية المقدسة تنشر أكاليل الزهور ومظاهر الفرح بمناسبة ذكرى ولادة أمير المؤمنين (عليه السلام)

مجمع الشيخ الكليني يواصل تحضيراته لاستقبال المشاركات في حفل تخرج طالبات الجامعات العاشر

وصول المشاركات في فعاليات مهرجان روح النبوة الثقافي النسوي العالمي الثامن إلى كربلاء

المزيد

الآخبار الصحية

ماذا يحدث لجسمك عند تناول الوجبات السريعة يوميا؟

لصحة عظام المرأة.. الشاي أفضل أم القهوة؟

لبناء العضلات وإنقاص الوزن.. ما أفضل توقيت لتناول البيض؟

أطعمة صحية تساعد على التعافي من "الإنفلونزا الخارقة"

المزيد

الآخبار التكنلوجية

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

تجربة جديدة: الأسفلت المدعوم بالطحالب يقاوم الحفر ويقلل الانبعاثات الكربونية

تسريبات تكشف ملامح أول هاتف قابل للطي من "أبل"

رصد نوع نادر من القطط في تايلاند للمرة الأولى منذ عقود

المزيد