تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Lehmer Cotangent Expansion
المؤلف:
Lehmer, D. H
المصدر:
"A Cotangent Analogue of Continued Fractions." Duke Math. J. 4
الجزء والصفحة:
...
3-3-2020
1017
+
-
20
Lehmer Cotangent Expansion
Lehmer (1938) showed that every positive irrational number 
has a unique infinite continued cotangent representation of the form
![x=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)b_k],](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LehmerCotangentExpansion/NumberedEquation1.gif) |
(1) |
where the 
s are nonnegative and
 |
(2) |
Note that this growth condition on coefficients is essential for the uniqueness of Lehmer expansion.
The following table summarizes the coefficients 
for various special constants.
 |
OEIS | |
| e | A002668 | 2, 8, 75, 8949, 119646723, 15849841722437093, ... |
Euler-Mascheroni constant  |
A081782 | 0, 1, 3, 16, 389, 479403, 590817544217, ... |
golden ratio  |
A006267 | 1, 4, 76, 439204, 84722519070079276, ... |
Lehmer's constant  |
A002065 | 0, 1, 3, 13, 183, 33673, ... |
 |
A002667 | 3, 73, 8599, 400091364,371853741549033970, ... |
Pythagoras's constant  |
A002666 | 1, 5, 36, 3406, 14694817,727050997716715, ... |
The expansion for the golden ratio 
has the beautiful closed form
![phi=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)(L_(3^k))],](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LehmerCotangentExpansion/NumberedEquation3.gif) |
(3) |
where 
is a Lucas number.
An illustration of a different cotangent expansion for 
that is not a Lehmer expansion because its coefficients grow too slowly is
![phi=cot[sum_(k=0)^infty(-1)^kcot^(-1)(F_(2k+2))],](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LehmerCotangentExpansion/NumberedEquation4.gif) |
(4) |
where 
is a Fibonacci number (B. Cloitre, pers. comm., Sep. 22, 2005).
REFERENCES:
Lehmer, D. H. "A Cotangent Analogue of Continued Fractions." Duke Math. J. 4, 323-340, 1938.
Rivoal, T. "Propriétés diophantiennes du développement en cotangente continue de Lehmer." http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rivoal/articles/cotan.pdf.
Shallit, J. "Predictable Regular Continued Cotangent Expansions." J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. B 80B, 285-290, 1976.
Sloane, N. J. A. Sequences A002065/M2961, A002666/M3983, A002668/M1900, A002667/M3171, A006267/M3699, and A081782 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
الاكثر قراءة في نظرية الاعداد
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
الآخبار الصحية
قسم الشؤون الفكرية يصدر كتاباً يوثق تاريخ السدانة في العتبة العباسية المقدسة
"المهمة".. إصدار قصصي يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة للقصة القصيرة
(نوافذ).. إصدار أدبي يوثق القصص الفائزة في مسابقة الإمام العسكري (عليه السلام)
