المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
النقل البحري
2024-11-06
النظام الإقليمي العربي
2024-11-06
تربية الماشية في جمهورية كوريا الشعبية الديمقراطية
2024-11-06
تقييم الموارد المائية في الوطن العربي
2024-11-06
تقسيم الامطار في الوطن العربي
2024-11-06
تربية الماشية في الهند
2024-11-06

الشماتة
25-09-2015
الإمام زين العابدين ( عليه السّلام ) في المدينة
6/10/2022
أنماط التوزيع
13-2-2022
Monophthongs and diphthongs commA (VISA)
2024-05-02
الارضي والشاصي
1-10-2021
قاعدة « على اليد‌ »
2-6-2022

Lebesgue Constants  
  
712   03:56 مساءً   date: 2-3-2020
Author : Finch, S. R.
Book or Source : "Lebesgue Constants." §4.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press
Page and Part : ...


Read More
Date: 7-10-2020 552
Date: 16-2-2020 603
Date: 1-11-2020 841

Lebesgue Constants

There are two sets of constants that are commonly known as Lebesgue constants. The first is related to approximation of function via Fourier series, which the other arises in the computation of Lagrange interpolating polynomials.

Assume a function f is integrable over the interval [-pi,pi] and S_n(f,x) is the nth partial sum of the Fourier series of f, so that

a_k = 1/piint_(-pi)^pif(t)cos(kt)dt

(1)

b_k = 1/piint_(-pi)^pif(t)sin(kt)dt

(2)

and

 S_n(f,x)=1/2a_0+{sum_(k=1)^n[a_kcos(kx)+b_ksin(kx)]}.

(3)

If

 |f(x)|<=1

(4)

for all x, then

 S_n(f,x)<=1/piint_0^pi(|sin[1/2(2n+1)theta]|)/(sin(1/2theta))dtheta=L_n,

(5)

and L_n is the smallest possible constant for which this holds for all continuous f. The first few values of L_n are

L_0 = 1

(6)

L_1 = 1/3+(2sqrt(3))/pi

(7)

= 1.435991124...

(8)

L_2 = 1/5+(sqrt(25-2sqrt(5)))/pi=1.642188435...

(9)

L_3 = 1/7+1/(3pi)[22sin(pi/7)-2cos(pi/(14))+10cos((3pi)/(14))]

(10)

= 1.778322861....

(11)

L_4 = (13)/(2sqrt(3)pi)+1/9+1/pi[7sin((2pi)/9)-5sin(pi/9)-cos(pi/(18))]

(12)

= 1.880080599....

(13)

Some sum formulas for L_n include

L_n = 1/(2n+1)+2/pisum_(k=1)^(n)1/ktan((pik)/(2n+1))

(14)

= (16)/(pi^2)sum_(k=1)^(infty)sum_(j=1)^((2n+1)k)1/(4k^2-1)1/(2j-1)

(15)

(Zygmund 1959) and integral formulas include

L_n = 4int_0^infty(tanh[(2n+1)x])/(tanhx)(dx)/(pi^2+4x^2)

(16)

= 4/(pi^2)int_0^infty(sinh[(2n+1)x])/(sinhx)ln{coth[1/2(2n+1)x]}dx

(17)

(Hardy 1942). For large n,

 4/(pi^2)lnn<L_n<3+4/(pi^2)lnn.

(18)

This result can be generalized for an r-differentiable function satisfying

 |(d^rf)/(dx^r)|<=1

(19)

for all x. In this case,

 |f(x)-S_n(f,x)|<=L_(n,r)=4/(pi^2)(lnn)/(n^r)+O(1/(n^r)),

(20)

where

 L_(n,r)={1/piint_(-pi)^pi|sum_(k=n+1)^(infty)(sin(kx))/(k^r)|dx   for r>=1 odd; 1/piint_(-pi)^pi|sum_(k=n+1)^(infty)(cos(kx))/(k^r)|dx   for r>=1 even

(21)

(Kolmogorov 1935, Zygmund 1959).

Watson (1930) showed that

 lim_(n->infty)[L_n-4/(pi^2)ln(2n+1)]=c,

(22)

where

c =

(23)

= 8/(pi^2)[sum_(j=0)^(infty)(lambda(2j+2)-1)/(2j+1)]+4/(pi^2)(2ln2+gamma)

(24)

= 0.9894312738...

(25)

(OEIS A086052), where Gamma(z) is the gamma function, lambda(z) is the Dirichlet lambda function, and gamma is the Euler-Mascheroni constant.

Define the nth Lebesgue constant for the Lagrange interpolating polynomial by

 Lambda_n(X)=max_(-1<=x<=1)sum_(k=1)^n|product_(j!=k)(x-x_j)/(x_k-x_j)|.

(26)

It is then true that

 Lambda_n>4/(pi^2)lnn-1.

(27)

The efficiency of a Lagrange interpolation is related to the rate at which Lambda_n increases. Erdős (1961) proved that there exists a positive constant such that

 Lambda_n>2/pilnn-C

(28)

for all n. Erdős (1961) further showed that

 Lambda_n<2/pilnn+4,

(29)

so (◇) cannot be improved upon.


REFERENCES:

Finch, S. R. "Lebesgue Constants." §4.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 250-255, 2003.

Erdős, P. "Problems and Results on the Theory of Interpolation, II." Acta Math. Acad. Sci. Hungary 12, 235-244, 1961.

Hardy, G. H. "Note on Lebesgue's Constants in the Theory of Fourier Series." J. London Math. Soc. 17, 4-13, 1942.

Kolmogorov, A. N. "Zur Grössenordnung des Restgliedes Fourierscher reihen differenzierbarer Funktionen." Ann. Math. 36, 521-526, 1935.

Sloane, N. J. A. Sequence A086052 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Watson, G. N. "The Constants of Landau and Lebesgue." Quart. J. Math. Oxford 1, 310-318, 1930.

Zygmund, A. G. Trigonometric Series, 2nd ed., Vols. 1-2. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1959.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.