المرجع الألكتروني للمعلوماتية
القرآن الكريم وعلومه
العقائد الإسلامية
الفقه وأصوله 
الرجال والحديث 
سيرة الرسول وآله 
علوم اللغة العربية 
الأدب العربي 
الأسرة والمجتمع 
الأخلاق والأدعية 
التاريخ 
الادارة والاقتصاد 
علم الفيزياء 
علم الكيمياء 
علم الأحياء 
الرياضيات 
الهندسة المدنية 
الزراعة 
الجغرافية 
القانون 
اللغة الأنكليزية 
الأخبار 
الإعلام 
مكتبة الصور 
أقلام بمختلف الألوان 
إضاءات
مفتاح
أجوبة الإستفتاءات الشرعية
وثائقيات
تاريخ الرياضيات
الرياضيات في الحضارات المختلفة
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات | Polygon Circumscribing |
 690
 05:02 مساءً
date: 11-2-2020 |
Author : Bouwkamp, C 
Book or Source : "An Infinite Product." Indag. Math. 27 
Page and Part : ...|
Read More
Date: 21-10-2019
646
Date: 12-7-2020
1352
Date: 12-5-2020
552
|
Circumscribe a triangle about a circle, another circle around the triangle, a square outside the circle, another circle outside the square, and so on. The circumradius and inradius for an 
-gon are then related by
 |
(1) |
so an infinitely nested set of circumscribed polygons and circles has
 |
 |
 |
(2) |
 |
 |
 |
(3) |
 |
 |
 |
(4) |
Kasner and Newman (1989) and Haber (1964) state that 
, but this is incorrect, and the actual answer is
 |
(5) |
(OEIS A051762).
By writing
![K=exp[sum_(n=3)^inftylnsec(pi/n)],](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/PolygonCircumscribing/NumberedEquation3.gif) |
(6) |
it is possible to expand the series about infinity, change the order of summation, do the 
sum symbolically, and obtain the quickly converging series
![K=exp{sum_(k=1)^infty((4^k-1)zeta(2k)[4^k(zeta(2k)-1)-1])/(4^kk)},](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/PolygonCircumscribing/NumberedEquation4.gif) |
(7) |
where 
is the Riemann zeta function.
Bouwkamp (1965) produced the following infinite product formulas for the constant,
 |
 |
![pi/2{product_(m=1)^(infty)product_(n=1)^(infty)[1-1/(m^2(n+1/2)^2)]}^(-1)](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/PolygonCircumscribing/Inline16.gif) |
(8) |
 |
 |
![1/2piproduct_(n=1)^(infty)[sinc((2pi)/(2n+1))]^(-1)](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/PolygonCircumscribing/Inline19.gif) |
(9) |
 |
 |
![6exp{sum_(k=1)^(infty)([lambda(2k)-1]2^(2k)[zeta(2k)-1-2^(-2k)])/k},](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/PolygonCircumscribing/Inline22.gif) |
(10) |
where 
is the sinc function (cf. Prudnikov et al. 1986, p. 757), 
is the Riemann zeta function, and 
is the Dirichlet lambda function. Bouwkamp (1965) also produced the formula with accelerated convergence
 |
(11) |
where
 |
(12) |
(cited in Pickover 1995).
REFERENCES:
Bouwkamp, C. "An Infinite Product." Indag. Math. 27, 40-46, 1965.
Chatterji, M. "Product[Cos[Pi/n], n,3,infinity]." http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap102.html.
Finch, S. R. "Kepler-Bouwkamp Constant." §6.3 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 428-429, 2003.
Haber, H. "Das Mathematische Kabinett." Bild der Wissenschaft 2, 73, Apr. 1964.
Hamming, R. W. Numerical Methods for Scientists and Engineers, 2nd ed. New York: Dover, pp. 193-194, 1986.
Kasner, E. and Newman, J. R. Mathematics and the Imagination. Redmond, WA: Microsoft Press, pp. 311-312, 1989.
Pappas, T. "Infinity & Limits." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 180, 1989.
Pickover, C. A. "Infinitely Exploding Circles." Ch. 18 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 147-151, 1995.
Pinkham, R. S. "Mathematics and Modern Technology." Amer. Math. Monthly 103, 539-545, 1996.
Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; and Marichev, O. I. Integrals and Series, Vol. 1: Elementary Functions. New York: Gordon & Breach, 1986.
Sloane, N. J. A. Sequence A051762 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
|
|
|
|
علامات بسيطة في جسدك قد تنذر بمرض "قاتل"
|
|
|
|
|
|
|
أول صور ثلاثية الأبعاد للغدة الزعترية البشرية
|
|
|
|
|
|
|
مكتبة أمّ البنين النسويّة تصدر العدد 212 من مجلّة رياض الزهراء (عليها السلام)
|
|
|
