المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر

شروط الخبر الناجح- الدلالة او المغزى
3-8-2021
طرق تحمّل الرواية / الوجادة.
2023-12-19
العوران من قريش
25-3-2021
في ما يعمل لطلب الولد
22-04-2015
بلال الحبشي خارج عن الحق عند الشيعة
19-11-2016
Model Organisms: Cell Biology and Genetics
23-10-2015

Hypercube Line Picking  
  
1119   06:02 مساءً   date: 10-2-2020
Author : Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; and Crandall, R. E
Book or Source : "Box Integrals." Preprint. Apr. 3, 2006.
Page and Part : ...


Read More
Date: 8-2-2020 547
Date: 17-12-2019 726
Date: 25-11-2020 597

Hypercube Line Picking 

Let two points x and y be picked randomly from a unit n-dimensional hypercube. The expected distance between the points Delta(n), i.e., the mean line segment length, is then

 Delta(n)=int_0^1...int_0^1_()_(2n)sqrt((x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+...+(x_n-y_n)^2)dx_1...dx_ndy_1...dy_n.

(1)

This multiple integral has been evaluated analytically only for small values of n. The case Delta(1) corresponds to the line line picking between two random points in the interval [0,1].

HypercubeLinePlot

The first few values for Delta(n) are given in the following table.

n OEIS Delta(n)
1 -- 0.3333333333...
2 A091505 0.5214054331...
3 A073012 0.6617071822...
4 A103983 0.7776656535...
5 A103984 0.8785309152...
6 A103985 0.9689420830...
7 A103986 1.0515838734...
8 A103987 1.1281653402...

The function Delta(n) satisfies

 1/3n^(1/2)<=Delta(n)<=(1/6n)^(1/2)sqrt(1/3[1+2(1-3/(5n))^(1/2)])

(2)

(Anderssen et al. 1976), plotted above together with the actual values.

HypercubeLinePickingIntegrands

M. Trott (pers. comm., Feb. 23, 2005) has devised an ingenious algorithm for reducing the 2n-dimensional integral to an integral over a 1-dimensional integrand I_n(x) such that

 Delta(n)=int_0^inftyI_n(x)dx.

(3)

The first few values are

I_1 = (2e^(-x^2))/(3sqrt(pi))

(4)

I_2 = (e^(-x^2)erf(x))/(3x)+(4e^(-2x^2))/(15sqrt(pi))+(4e^(-x^2))/(15sqrt(pi))

(5)

I_3 = -2/5e^(-x^2)sqrt(pi)erf^2(x)+(4e^(-2x^2)erf(x))/(5x)+(e^(-x^2)erf(x))/(5x)-(12e^(-3x^2))/(35sqrt(pi))+(68e^(-2x^2))/(105sqrt(pi))+(8e^(-x^2))/(105sqrt(pi))

(6)

I_4 = -(2e^(-x^2)pierf^3(x))/(15x)-(136)/(105)e^(-2x^2)sqrt(pi)erf^2(x)-(32)/(105)e^(-x^2)sqrt(pi)erf^2(x)+(197e^(-3x^2)erf(x))/(210x)+(104e^(-2x^2)erf(x))/(105x)+(e^(-x^2)erf(x))/(14x)-(676e^(-4x^2))/(945sqrt(pi))+(16e^(-3x^2))/(35sqrt(pi))+(146e^(-2x^2))/(315sqrt(pi))+(16e^(-x^2))/(945sqrt(pi)).

(7)

In the limit as x->0, these have values for n=1, 2, ... given by 1/sqrt(pi) times 2/3, 6/5, 50/21, 38/9, 74/11, ... (OEIS A103990 and A103991).

This is equivalent to computing the box integral

 Delta_n(s)=s/(Gamma(1-1/2s))int_0^infty(1-[d(u)]^n)/(u^(s+1))du

(8)

where

d(u) = int_0^1int_0^1e^(-u^2(x-y)^2)dxdy

(9)

= int_0^1int_0^1(e^(-u^2)-1+sqrt(pi)uerf(u))/(u^2)du

(10)

(Bailey et al. 2006).

These give closed-form results for n=1, 2, 3, and 4:

Delta(1) = 1/3

(11)

Delta(2) = 1/(15)[sqrt(2)+2+5ln(1+sqrt(2))]

(12)

Delta(3) = 1/(105)[4+17sqrt(2)-6sqrt(3)+21ln(1+sqrt(2))+42ln(2+sqrt(3))-7pi]

(13)

Delta(4) = (136)/(105)sqrt(2)tan^(-1)(1/2sqrt(2))-(34)/(105)pisqrt(2)+8/(105)sqrt(3)+(73)/(630)sqrt(2)+4/5Cl_2(alpha)-4/5Cl_2(alpha+1/2pi)+(197)/(420)ln3+1/(14)ln(1+sqrt(2))-4/5alphaln(1+sqrt(2))-1/5piln(1+sqrt(2))+(52)/(105)ln(2+sqrt(3))-(23)/(135)-(16)/(315)pi+(26)/(15)K

(14)

Delta(5) = (65)/(42)K-(380)/(6237)sqrt(5)+(568)/(3465)sqrt(3)-4/(189)pi-(449)/(3465)-(73)/(63)sqrt(2)tan^(-1)(1/4sqrt(2))-(184)/(189)ln2+(64)/(189)ln(sqrt(5)+1)+1/(54)ln(1+sqrt(2))+(40)/(63)ln(sqrt(2)+sqrt(6))-5/(28)piln(1+sqrt(2))+(52)/(63)piln2+(295)/(252)ln3+4/(215)pi^2+(3239)/(62370)sqrt(2)-8/(21)sqrt(3)cot^(-1)(sqrt(15))-(52)/(63)piln(sqrt(2)+sqrt(6))-5/7alpha+5/7Cl_2(alpha)-5/7Cl_2(alpha+1/2pi)+(52)/(63)K_1,

(15)

where Cl_2(z) is a Clausen function, K is Catalan's constant, and

 alpha=sin^(-1)((sqrt(2))/6-2/3).

(16)

The n=4 case above seems to be published here for the first time; the simplified form given above is due to Bailey et al. (2006). Attempting to reduce Delta(5) to quadratures gives closed-form pieces with the exception of the single piece

K_1 = pi[1/2ln(2+sqrt(3))-int_0^infty(e^(-2x^2)erf^3(x))/xdx]

(17)

= int_3^4(sec^(-1)x)/(sqrt((x-3)(x-1)))dx

(18)

= int_0^(I[cos^(-1)2])sec^(-1)(2+coshtheta)dtheta

(19)

which appears to be difficult to integrate in closed form (Bailey et al. 2007, p. 272).

The value Delta(3) obtained for cube line picking is sometimes known as the Robbins constant.



REFERENCES:

Anderssen, R. S.; Brent, R. P.; Daley, D. J.; and Moran, A. P. "Concerning int_0^1...int_0^1sqrt(x_1^2+...+x_k^2)dx_1...dx_k and a Taylor Series Method." SIAM J. Appl. Math. 30, 22-30, 1976.

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; and Crandall, R. E. "Box Integrals." Preprint. Apr. 3, 2006.

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, p. 272, 2007.

Finch, S. R. "Geometric Probability Constants." §8.1 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 479-484, 2003.

Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 30, 1983.

Robbins, D. "Average Distance between Two Points in a Box." Amer. Math. Monthly 85, 278, 1978.

Sloane, N. J. A. Sequences A073012, A091505, A103983, A103984, A103985, A103986, A103987, A103988, A103989, A103990, and A103991 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Trott, M. "The Area of a Random Triangle." Mathematica J. 7, 189-198, 1998.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.