المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24
من آداب التلاوة
2024-11-24
مواعيد زراعة الفجل
2024-11-24
أقسام الغنيمة
2024-11-24
سبب نزول قوله تعالى قل للذين كفروا ستغلبون وتحشرون الى جهنم
2024-11-24


Lehmer,s Mahler Measure Problem  
  
1983   05:39 مساءً   date: 20-1-2020
Author : Boyd, D. W.
Book or Source : "Reciprocal Polynomials Having Small Measure." Math. Comput. 35
Page and Part : ...


Read More
Date: 12-9-2020 1342
Date: 2-1-2021 776
Date: 30-4-2020 939

Lehmer's Mahler Measure Problem

MahlerMeasureCircles

An unsolved problem in mathematics attributed to Lehmer (1933) that concerns the minimum Mahler measure M_1(P) for a univariate polynomial P(x) that is not a product of cyclotomic polynomials. Lehmer (1933) conjectured that if P(x) is such an integer polynomial, then

M_1(P) >= M_1(1-x+x^3-x^4+x^5-x^6+x^7-x^9+x^(10))

(1)

= m^*,

(2)

where m^* approx 1.1762, denoted Omega by Lehmer (1933) and lambda by Hironaka (2009), is the largest positive root of this polynomial. The roots of this polynomial, plotted in the left figure above, are very special, since 8 of the 10 lie on the unit circle in the complex plane. The roots of the polynomials (represented by half their coefficients) giving the two next smallest known Mahler measures are also illustrated above (Mossinghoff 1998, p. S11).

The best current bound is that of Smyth (1971), who showed that M(F)>theta_1, where F is a nonzero nonreciprocal polynomial that is not a product of cyclotomic polynomials (Everest 1999), and theta_1 approx 1.324 is the real root of x^3-x-1=0. Generalizations of Smyth's result have been constructed by Lloyd-Smith (1985) and Dubickas (1997).

MahlerMeasure

In general, the smallest Mahler measures occur for integer polynomials that are small in absolute value. The histogram above shows the distribution of measures for random (-1,0,1)-polynomials of random orders 1 to 10. Mossinghoff (1998) gives a table of the smallest known Mahler measures for polynomial degrees up to d=24, and subsequently demonstrated that m^* is the smallest Mahler measure greater than 1 for all degrees up to 40 (Mossinghoff, Hironaka 2009).

m^* is a Salem constant.


REFERENCES:

Bailey, D. H. and Broadhurst, D. J. "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder." 20 Jun 1999. http://arxiv.org/abs/math.CA/9906134.

Boyd, D. W. "Reciprocal Polynomials Having Small Measure." Math. Comput. 35, 1361-1377, 1980.

Boyd, D. W. "Reciprocal Polynomials Having Small Measure. II." Math. Comput. 53, 355-357 and S1-S5, 1989.

Dubickas, A. "Algebraic Conjugates Outside the Unit Circle." In New Trends in Probability and Statistics, Vol. 4: Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory. Proceedings of the 2nd International Conference held in Honor of J. Kubilius on His 75th Birthday in Palanga, September 23-27, 1996 (Ed. A. Laurinčikas, E. Manstavičius, and V. Stakenas). Utrecht, Netherlands: VSP, pp. 11-21, 1997.

Everest, G. and Ward, T. Ch. 1 in Heights of Polynomials and Entropy in Algebraic Dynamics. London: Springer-Verlag, 1999.

Hironaka, E. "What Is... Lehmer's Number." Not. Amer. Math. Soc. 56, 374-375, 2009.

Lehmer, D. H. "Factorization of Certain Cyclotomic Functions." Ann. Math. 34, 461-469, 1933.

Lloyd-Smith, C. W. "Algebraic Numbers Near the Unit Circle." Acta Arith. 45, 43-57, 1985.

Mossinghoff, M. "Lehmer's Problem." http://oldweb.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/.

Mossinghoff, M. J. "Polynomials with Small Mahler Measure." Math. Comput. 67, 1697-1705 and S11-S14, 1998.

Smyth, C. J. "On the Product of the Conjugates Outside the Unit Circle of an Algebraic Integer." Bull. London Math. Soc. 3, 169-175, 1971.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.