The sequence of Fibonacci numbers {F_n}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/PisanoPeriod/Inline1.gif" style="height:15px; width:25px" /> is periodic modulo any modulus  (Wall 1960), and the period (mod ) is the known as the Pisano period  (Wrench 1969). For , 2, ..., the values of  are 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, ... (OEIS A001175).

Since , the last digit of  repeats with period 60, as first noted by Lagrange in 1774 (Livio 2002, p. 105). The last two digits repeat with a period of 300, and the last three with a period of 1500. In 1963, Geller found that the last four digits have a period of  and the last five a period of . Jarden subsequently showed that for , the last  digits have a period of  (Livio 2002, pp. 105-106). The sequence of Pisano periods for , 10, 100, 1000, ... are therefore 60, 300, 1500, 15000, 150000, 1500000, ... (OEIS A096363).

 is even if  (Wall 1960).  iff  for some integer  (Fulton and Morris 1969, Wrench 1969).

REFERENCES:

Fulton, J. D. and Morris, W. L. "On Arithmetical Functions Related to the Fibonacci Numbers." Acta Arith. 16, 105-110, 1969.

Hannon, B. H. and Morris, W. L. Tables of Arithmetical Functions Related to the Fibonacci Numbers. Report ORNL-4261, Oak Ridge National Laboratory, Oak Ridge, Tennessee, June 1968.

Livio, M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, 2002.

Reiter, C. A. "Fibonacci Numbers: Reduction Formulas and Short Periods." Fib. Quart. 31, 315-324, 1993.

Roberts, J. The Lure of the Integers. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 162, 1992.

Sato, N. (Ed.). "Mathematical Mayhem. Shreds and Slices: Fibonacci Residues." Crux Math. 23, 224-226, 1997.

Sloane, N. J. A. Sequences A001175/M2710 and A096363 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Wall, D. D. "Fibonacci Series Modulo ." Amer. Math. Monthly 67, 525-532, 1960.

Wrench, J. W. "Review of B. H. Hannon and W. L. Morris, Tables of Arithmetical Functions Related to the Fibonacci Numbers." Math. Comput. 23, 459-460, 1969.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

العتبة العباسية المقدسة تواصل تنظيم مجالس العزاء الصباحية بذكرى زيارة عاشوراء

مواكب العزاء تستذكر في التاسع من شهر المحرم شهادة عبدالله الرضيع بن الحسين (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تستذكر تضحيات القاسم بن الحسن (عليهما السلام)

شعبة الحرم الشريف تواصل تنفيذ خطتها الخاصة بشهر المحرّم داخل مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد