The sequence of Fibonacci numbers {F_n}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/PisanoPeriod/Inline1.gif" style="height:15px; width:25px" /> is periodic modulo any modulus  (Wall 1960), and the period (mod ) is the known as the Pisano period  (Wrench 1969). For , 2, ..., the values of  are 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, ... (OEIS A001175).

Since , the last digit of  repeats with period 60, as first noted by Lagrange in 1774 (Livio 2002, p. 105). The last two digits repeat with a period of 300, and the last three with a period of 1500. In 1963, Geller found that the last four digits have a period of  and the last five a period of . Jarden subsequently showed that for , the last  digits have a period of  (Livio 2002, pp. 105-106). The sequence of Pisano periods for , 10, 100, 1000, ... are therefore 60, 300, 1500, 15000, 150000, 1500000, ... (OEIS A096363).

 is even if  (Wall 1960).  iff  for some integer  (Fulton and Morris 1969, Wrench 1969).

REFERENCES:

Fulton, J. D. and Morris, W. L. "On Arithmetical Functions Related to the Fibonacci Numbers." Acta Arith. 16, 105-110, 1969.

Hannon, B. H. and Morris, W. L. Tables of Arithmetical Functions Related to the Fibonacci Numbers. Report ORNL-4261, Oak Ridge National Laboratory, Oak Ridge, Tennessee, June 1968.

Livio, M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, 2002.

Reiter, C. A. "Fibonacci Numbers: Reduction Formulas and Short Periods." Fib. Quart. 31, 315-324, 1993.

Roberts, J. The Lure of the Integers. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 162, 1992.

Sato, N. (Ed.). "Mathematical Mayhem. Shreds and Slices: Fibonacci Residues." Crux Math. 23, 224-226, 1997.

Sloane, N. J. A. Sequences A001175/M2710 and A096363 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Wall, D. D. "Fibonacci Series Modulo ." Amer. Math. Monthly 67, 525-532, 1960.

Wrench, J. W. "Review of B. H. Hannon and W. L. Morris, Tables of Arithmetical Functions Related to the Fibonacci Numbers." Math. Comput. 23, 459-460, 1969.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد