Odd values of  are 1, 1, 3, 5, 27, 89, 165, 585, ... (OEIS A051044), and occur with ever decreasing frequency as  becomes large (unlike , for which the fraction of odd values remains roughly 50%). This follows from the pentagonal number theorem which gives

			(1)
			(2)
			(3)

(Gordon and Ono 1997), so  is odd iff  is of the form , i.e., 1, 5, 12, 22, 35, ... or 2, 7, 15, 26, 40, ....

The values of  for which  is prime are 3, 4, 5, 7, 22, 70, 100, 495, 1247, 2072, 320397, ... (OEIS A035359), with no others for  (Weisstein, May 6, 2000). These values correspond to 2, 2, 3, 5, 89, 29927, 444793, 602644050950309, ... (OEIS A051005). It is not known if  is infinitely often prime, but Gordon and Ono (1997) proved that it is "almost always" divisible by any given power of 2 (1997).

Gordon and Hughes (1981) showed that

(4)

and

(5)

where  is an integer depending only on .

REFERENCES:

Gordon, B. and Hughes, K. "Ramanujan Congruences for ." In Analytic Number Theory, Proceedings of the Conference Held at Temple University, Philadelphia, Pa., May 12-15, 1980 (Ed. M. I. Knopp). New York: Springer-Verlag, pp. 333-359, 1981.

Gordon, B. and Ono, K. "Divisibility of Certain Partition Functions by Powers of Primes." Ramanujan J. 1, 25-34, 1997.

Sloane, N. J. A. Sequences A035359, A051005, and A051044 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

العتبة العباسية المقدسة تواصل تنظيم مجالس العزاء الصباحية بذكرى زيارة عاشوراء

مواكب العزاء تستذكر في التاسع من شهر المحرم شهادة عبدالله الرضيع بن الحسين (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تستذكر تضحيات القاسم بن الحسن (عليهما السلام)

شعبة الحرم الشريف تواصل تنفيذ خطتها الخاصة بشهر المحرّم داخل مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد