Take  a number field and  a divisor of . A congruence subgroup  is defined as a subgroup of the group of all fractional ideals relative prime to  () that contains all principal ideals that are generated by elements of  that are equal to 1 (mod ). These principal ideals split completely in all Abelian extensions and are consequently part of the kernel of the Artin map for each Abelian extension .

When there exists an Abelian extension  such that  contains all the primes that ramify in  and such that  equals the kernel of the Artin map, then  is called the class field of .

To formulate the main theorems, the equivalence relation on congruence subgroups is needed, namely that  and  are called equivalent if there exists a divisor  such that .

Class field theory consists of two basic theorems. The existence theorem states that to every equivalence class of congruence subgroups, there belongs a class field . The classification theorem states that for each number field , there is a unique one-to-one correspondence between the Abelian extensions  and the equivalence classes of congruence subgroups .

This is important because this means that all Abelian extensions of a number field can be found using a property that is completely determined within the number field itself.

REFERENCES:

Garbanati, D. "Class Field Theory Summarized." Rocky Mtn. J. Math. 11, 195-225, 1981.

Hazewinkel, M. "Local Class Field Theory is Easy." Adv. Math. 18, 148-181, 1975.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

العتبة العباسية المقدسة تواصل تنظيم مجالس العزاء الصباحية بذكرى زيارة عاشوراء

مواكب العزاء تستذكر في التاسع من شهر المحرم شهادة عبدالله الرضيع بن الحسين (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تستذكر تضحيات القاسم بن الحسن (عليهما السلام)

شعبة الحرم الشريف تواصل تنفيذ خطتها الخاصة بشهر المحرّم داخل مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد