المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
The structure of the tone-unit
2024-11-06
IIntonation The tone-unit
2024-11-06
Tones on other words
2024-11-06
Level _yes_ no
2024-11-06
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05

Consonants h-dropping
2024-03-14
لقد حدد بعض التربويين خطوات تدريس المهارات - الخطوة الأولى
31-5-2022
علي نوراً بين يدي الله
31-01-2015
مجون الأمويين
2-4-2016
جسيمة الفا تفعل ما لم يفعله رياضي القفز العالي من قبل
2023-06-22
logogram (n.)
2023-10-07

Dirichlet L-Series  
  
856   06:14 مساءً   date: 19-12-2019
Author : Apostol, T. M
Book or Source : Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976.
Page and Part : ...


Read More
Date: 4-3-2020 785
Date: 12-1-2020 831
Date: 19-9-2020 713

Dirichlet L-Series

 

A Dirichlet L-series is a series of the form

 

 L_k(s,chi)=sum_(n=1)^inftychi_k(n)n^(-s),

(1)

where the number theoretic character chi_k(n) is an integer function with period k, are called Dirichlet L-series. These series are very important in additive number theory (they were used, for instance, to prove Dirichlet's theorem), and have a close connection with modular forms. Dirichlet L-series can be written as sums of Lerch transcendents with z a power of e^(2pii/k).

Dirichlet L-series is implemented in the Wolfram Language as DirichletL[kjs] for the Dirichlet character chi(n) with modulus k and index j.

The generalized Riemann hypothesis conjectures that neither the Riemann zeta function nor any Dirichlet L-series has a zero with real part larger than 1/2.

The Dirichlet lambda function

lambda(s) = sum_(n=0)^(infty)1/((2n+1)^s)

(2)

= (1-2^(-s))zeta(s),

(3)

Dirichlet beta function

L_(-4)(s) =

(4)

= beta(s)

(5)

and Riemann zeta function

L_(+1)(s) = zeta(s)

(6)

= sum_(n=1)^(infty)1/(n^s)

(7)

are all Dirichlet L-series (Borwein and Borwein 1987, p. 289).

Hecke (1936) found a remarkable connection between each modular form with Fourier series

 f(tau)=c(0)+sum_(n=1)^inftyc(n)e^(2piintau)

(8)

and the Dirichlet L-series

 phi(s)=sum_(n=1)^infty(c(n))/(n^s)

(9)

This Dirichlet series converges absolutely for sigma=R[s]>k+1 (if f is a cusp form) and sigma>2k if f is not a cusp form. In particular, if the coefficients c(n) satisfy the multiplicative property

 c(m)c(n)=sum_(d|(m,n))d^(2k-1)c((mn)/(d^2)),

(10)

then the Dirichlet L-series will have a representation of the form

(11)

which is absolutely convergent with the Dirichlet series (Apostol 1997, pp. 136-137). In addition, let k>=4 be an even integer, then phi(s) can be analytically continued beyond the line sigma=k such that

1. If c(0)=0, then phi(s) is an entire function of s,

2. If c(0)!=0phi(s) is analytic for all s except a single simple pole at s=k with complex residue

 ((-1)^(k/2)c(0)(2pi)^k)/(Gamma(k)),

(12)

where Gamma(k) is the gamma function, and

3. phi(s) satisfies

 (2pi)^(-s)Gamma(s)phi(s)=(-1)^(k/2)(2pi)^(s-k)Gamma(k-s)phi(k-s)

(13)

(Apostol 1997, p. 137).

The number theoretic character chi_k is called primitive if the j-conductor f(chi)=k. Otherwise, chi_k is imprimitive. A primitive L-series modulo k is then defined as one for which chi_k(n) is primitive. All imprimitive L-series can be expressed in terms of primitive L-series.

Let P=1 or P=product_(i=1)^(t)p_i, where p_i are distinct odd primes. Then there are three possible types of primitive L-series with real coefficients. The requirement of real coefficients restricts the number theoretic character to chi_k(n)=+/-1 for all k and n. The three type are then

1. If k=P (e.g., k=1, 3, 5, ...) or k=4P (e.g., k=4, 12, 20, ...), there is exactly one primitive L-series.

2. If k=8P (e.g., k=8, 24, ...), there are two primitive L-series.

3. If k=2P,Pp_i, or 2^alphaP where alpha>3 (e.g., k=2, 6, 9, ...), there are no primitive L-series

(Zucker and Robertson 1976). All primitive L-series are algebraically independent and divide into two types according to

 chi_k(k-1)=+/-1.

(14)

Primitive L-series of these types are denoted L_+/-. For a primitive L-series with real number theoretic character, if k=P, then

 L_k={L_(-k)   if P=3 (mod 4); L_k   if P=1 (mod 4).

(15)

If k=4P, then

 L_k={L_(-k)   if P=1 (mod 4); L_k   if P=3 (mod 4),

(16)

and if k=8P, then there is a primitive function of each type (Zucker and Robertson 1976).

The first few primitive negative L-series are L_(-3)L_(-4)L_(-7)L_(-8)L_(-11)L_(-15)L_(-19)L_(-20)L_(-23)L_(-24)L_(-31)L_(-35)L_(-39)L_(-40)L_(-43)L_(-47)L_(-51)L_(-52)L_(-55)L_(-56)L_(-59)L_(-67)L_(-68)L_(-71)L_(-79)L_(-83)L_(-84)L_(-87)L_(-88)L_(-91)L_(-95), ... (OEIS A003657), corresponding to the negated discriminants of imaginary quadratic fields. The first few primitive positive L-series are L_(+1)L_(+5)L_(+8)L_(+12)L_(+13)L_(+17)L_(+21)L_(+24)L_(+28)L_(+29)L_(+33)L_(+37)L_(+40)L_(+41)L_(+44)L_(+53)L_(+56)L_(+57)L_(+60)L_(+61)L_(+65)L_(+69)L_(+73)L_(+76)L_(+77)L_(+85)L_(+88)L_(+89)L_(+92)L_(+93)L_(+97), ... (OEIS A003658).

The Kronecker symbol (d/n) is a real number theoretic character modulo d, and is in fact essentially the only type of real primitive number theoretic character mod d (Ayoub 1963). Therefore,

 L_d(s)=sum_(n=1)^infty(d/n)n^(-s)

(17)

where (d/n) is the Kronecker symbol (Borwein and Borwein 1987, p. 293).

For primitive values of d, the Kronecker symbols are periodic with period |d|, so L_d(s) can be written in the form of |d|-1 sums, each of which can be expressed in terms of the polygamma function psi_n(z), giving

(18)

The functional equations for L_+/- are

L_(-d)(s) = 2^spi^(s-1)d^(-s+1/2)Gamma(1-s)cos(1/2spi)L_(-d)(1-s)

(19)

L_(+d)(s) = 2^spi^(s-1)d^(-s+1/2)Gamma(1-s)sin(1/2spi)L_(+d)(1-s)

(20)

(Borwein and Borwein 1986, p. 303).

For m a positive integer

L_(+d)(-2m) = 0

(21)

L_(-d)(1-2m) = 0

(22)

L_(+d)(2m) =

(23)

L_(-d)(2m-1) =

(24)

L_(+d)(1-2m) = ((-1)^m(2m-1)!R)/((2k)^(2m-1))

(25)

L_(-d)(-2k) =

(26)

where R and  are rational numbers. Nothing general appears to be known about L_(-d)(2m) or L_(+d)(2m-1), although it is possible to express all L_+/-(1) in terms of known transcendentals (Zucker and Robertson 1976).

L_(+d)(1) can be expressed in terms of transcendentals by

 L_d(1)=h(d)kappa(d),

(27)

where h(d) is the class number and kappa(d) is the Dirichlet structure constant.

No general forms are known for L_(-d)(2m) and L_(+d)(2m-1) in terms of known transcendentals. Edwards (2000) gives several examples of special cases of . A number of primitive series L_d(1) are given by

L_(-20)(1) = pi/(sqrt(5))

(28)

L_(-15)(1) = (2pi)/(sqrt(15))

(29)

L_(-11)(1) = pi/(sqrt(11))

(30)

L_(-8)(1) = pi/(2sqrt(2))

(31)

L_(-7)(1) = pi/(sqrt(7))

(32)

L_(-4)(1) = 1/4pi

(33)

L_(-3)(1) = 1/9pisqrt(3)

(34)

L_(+5)(1) = 2/5sqrt(5)lnphi

(35)

L_(+8)(1) = (ln(1+sqrt(2)))/(sqrt(2))

(36)

L_(+12)(1) = (ln(2+sqrt(3)))/(sqrt(3))

(37)

L_(+13)(1) = 2/(sqrt(13))ln((3+sqrt(13))/2)

(38)

L_(+17)(1) = 2/(sqrt(17))ln(4+sqrt(17))

(39)

L_(+21)(1) = 2/(sqrt(21))ln((5+sqrt(21))/2)

(40)

L_(+24)(1) = (ln(5+2sqrt(6)))/(sqrt(6)),

(41)

and for L_k(2) are given by

L_(-8)(2) = 1/(64)[psi_1(1/8)+psi_1(3/8)-psi_1(5/8)-psi_1(7/8)]

(42)

L_(-7)(2) = 1/(49)[psi_1(1/7)+psi_1(2/7)-psi_1(3/7)+psi_1(4/7)

(43)

L_(-4)(2) = K

(44)

L_(-3)(2) = 1/9[psi_1(1/3)-psi_1(2/3)]

(45)

L_(+1)(2) = 1/6pi^2

(46)

L_(+5)(2) = 4/(125)pi^2sqrt(5)

(47)

L_(+8)(2) = 1/(16)pi^2sqrt(2)

(48)

L_(+12)(2) = 1/(18)pi^2sqrt(3)

(49)

L_(+13)(2) = (4pi^2)/(13sqrt(13))

(50)

L_(+17)(2) = (8pi^2)/(17sqrt(17))

(51)

L_(+21)(2) = (8pi^2)/(21sqrt(21)),

(52)

where K is Catalan's constant, psi_1(z) is the trigamma function, and Li_2(z) is the dilogarithm.

Bailey and Borwein (Bailey and Borwein 2005; Bailey et al. 2006a, pp. 5 and 62; Bailey et al. 2006b; Bailey and Borwein 2008; Coffey 2008) conjectured the relation actually in effect proved by Zagier (1986) nearly twenty years earlier (M. Coffey, pers. comm., Mar. 30, 2009) that L_(-7)(2) is also given by

I_7 = (24)/(7sqrt(7))int_(pi/3)^(pi/2)ln|(tanx+sqrt(7))/(tanx-sqrt(7))|dx

(53)

= -4/(7sqrt(7)){9ln2cot^(-1)sqrt(7)+(pi-6cot^(-1)sqrt(7))×ln(sqrt(7)-sqrt(3))-piln(sqrt(3)+sqrt(7))+3i[Li_2((sqrt(7)-sqrt(3))/(sqrt(7)-i))-Li_2((sqrt(7)-sqrt(3))/(sqrt(7)+i))-Li_2((sqrt(7)-i)/(sqrt(3)+sqrt(7)))+Li_2((sqrt(7)+i)/(sqrt(3)+sqrt(7)))]}

(54)

= (24)/(7sqrt(7)){Cl_2(theta_+)+1/2[Cl_2(2omega_+)-Cl_2(2omega_++2theta_+)]}

(55)

= 4/(7sqrt(7))[3Cl_2(theta_7)-3Cl_2(2theta_7)+Cl_2(3theta_7)]

(56)

= 1.1519254705...

(57)

where the latter expressions are due to Coffey (2008ab), with

omega_+ = tan^(-1)(sqrt(7))-(2pi)/3

(58)

omega_- = -omega_+

(59)

= tan^(-1)((2sqrt(3)-sqrt(7))/5)

(60)

theta_+ = tan^(-1)(1/3sqrt(7))

(61)

theta_7 = 2tan^(-1)(sqrt(7)).

(62)


REFERENCES:

Apostol, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976.

Apostol, T. M. "Modular Forms and Dirichlet Series" and "Equivalence of Ordinary Dirichlet Series." §6.16 and §8.8 in Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 136-137 and 174-176, 1997.

Ayoub, R. G. An Introduction to the Analytic Theory of Numbers. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1963.

Bailey, D. H. and Borwein, J. M. "Experimental Mathematics: Examples, Methods, and Implications." Not. Amer. Math. Soc. 52, 502-514, 2005.

Bailey, D. H. and Borwein, J. M. "Computer-Assisted Discovery and Proof." In Tapas in Experimental Mathematics (Ed. T. Amdeberhan and V. Moll). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2008.

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, p. 222, 2006a. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/hyper-ema.pdf.

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; and Weisstein, E. W. "Ten Problems in Experimental Mathematics." Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006b.

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.

Buell, D. A. "Small Class Numbers and Extreme Values of L-Functions of Quadratic Fields." Math. Comput. 139, 786-796, 1977.

Coffey, M. W. "Evaluation of a ln tan Integral Arising in Quantum Field Theory." J. Math. Phys. 49, 093508-1-15, 2008a.

Coffey, M. W. "Alternative Evaluation of a ln tan Integral Arising in Quantum Field Theory." Nov. 15, 2008b. http://arxiv.org/abs/0810.5077.

Edwards, H. M. Fermat's Last Theorem : A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 2000.

Hecke, E. "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung." Math. Ann. 112, 664-699, 1936.

Ireland, K. and Rosen, M. "Dirichlet L-Functions." Ch. 16 in A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 249-268, 1990.

Koch, H. "L-Series." Ch. 7 in Number Theory: Algebraic Numbers and Functions. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 203-258, 2000.

Shanks, D. and Wrench, J. W. Jr. "The Calculation of Certain Dirichlet Series." Math. Comput. 17, 135-154, 1963.

Shanks, D. and Wrench, J. W. Jr. "Corrigendum to 'The Calculation of Certain Dirichlet Series.' " Math. Comput. 17, 488, 1963.

Sloane, N. J. A. Sequences A003657/M2332, A003658/M3776, and A103133 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Zagier, D. "Hyperbolic Manifolds and Special Values of Dedekind Zeta-Functions." Invent. Math. 83, 285-301, 1986.

Zucker, I. J. and Robertson, M. M. "Some Properties of Dirichlet L-Series." J. Phys. A: Math. Gen. 9, 1207-1214, 1976.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.