المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
القيمة الغذائية للثوم Garlic
2024-11-20
العيوب الفسيولوجية التي تصيب الثوم
2024-11-20
التربة المناسبة لزراعة الثوم
2024-11-20
البنجر (الشوندر) Garden Beet (من الزراعة الى الحصاد)
2024-11-20
الصحافة العسكرية ووظائفها
2024-11-19
الصحافة العسكرية
2024-11-19

مسبار إلكتروني دقيق electron microprobe
26-12-2018
أنواع الرياح- الرياح المحلية المرافقة للمنخفضات الجوية- الرياح الدافئة
19-3-2022
Integrand
21-8-2018
أشكال خطة المدينة - الخطة النجمية
2023-03-18
الإستصحاب
9-9-2016
مناقشة حول دعوى وجود قرآن آخر عند الشيعة
19-6-2016

Ramanujan Theta Functions  
  
1484   06:27 مساءً   date: 31-8-2019
Author : Berndt, B. C.; Huang, S.-S.; Sohn, J.; and Son, S. H.
Book or Source : "Some Theorems on the Rogers-Ramanujan Continued Fraction in Ramanujan,s Lost Notebook." Trans. Amer. Math. Soc. 352
Page and Part : ...


Read More
Date: 30-3-2019 1434
Date: 29-8-2019 1133
Date: 23-5-2019 2174

Ramanujan Theta Functions

 

Ramanujan's two-variable theta function f(a,b) is defined by

 

 f(a,b)=sum_(n=-infty)^inftya^(n(n+1)/2)b^(n(n-1)/2)

(1)

for |ab|<1 (Berndt 1985, p. 34; Berndt et al. 2000). It satisfies

 f(-1,a)=0

(2)

and

f(a,b) = f(b,a)

(3)

= (-a;ab)_infty(-b;ab)_infty(ab;ab)_infty

(4)

(Berndt 1985, pp. 34-35; Berndt et al. 2000), where (a;q)_k is a q-Pochhammer symbol, i.e., a q-series.

A one-argument form of f(a,b) is also defined by

f(-q) = f(-q,-q^2)

(5)

= (q;q)_infty

(6)

= 1-q-q^2+q^5+q^7-q^(12)-q^(15)+...

(7)

(OEIS A010815; Berndt 1985, pp. 36-37; Berndt et al. 2000), where (a;q)_infty is a q-Pochhammer symbol. The identities above are equivalent to the pentagonal number theorem.

The function also satisfies

qf(-q^(24)) = q(q^(24))_infty

(8)

= sum_(k=-infty)^(infty)(-1)^kq^((6k+1)^2).

(9)

Ramanujan's phi-function phi(q) is defined by

phi(q) = f(q,q)

(10)

= ((-q;q^2)_infty(q^2;q^2)_infty)/((q;q^2)_infty(-q^2;q^2)_infty)

(11)

= ((-q,-q)_infty)/((q,-q)_infty)

(12)

= theta_3(0,q)

(13)

= 1+2q+2q^4+2q^9+2q^(16)+2q^(25)+...

(14)

(OEIS A000122), where theta_3(0,q) is a Jacobi theta function (Berndt 1985, pp. 36-37). f(a,b) is a generalization of phi(x), with the two being connected by

 f(x,x)=phi(x).

(15)

Special values of phi include

phi(e^(-pisqrt(2))) = (Gamma(9/8))/(Gamma(5/4))sqrt((Gamma(1/4))/(2^(1/4)pi))

(16)

phi(e^(-pi)) = (pi^(1/4))/(Gamma(3/4)),

(17)

where Gamma(x) is a gamma function.

Ramanujan's psi-function psi(q) is defined by

psi(q) = f(q,q^3)

(18)

= (-q;q)_infty(q^2;q^2)_infty

(19)

= ((q^2;q^2)_infty)/((q;q^2)_infty)

(20)

= 1/2q^(-1/8)theta_2(0,q^(1/2))

(21)

= sum_(k=0)^(infty)q^(k(k+1)/2)

(22)

= 1+q+q^3+q^6+q^(10)+q^(15)+q^(21)+...

(23)

(OEIS A010054; Berndt 1985, p. 37).

Ramanujan's chi-function chi(q) is defined by

chi(q) = (-q;q^2)_infty

(24)

= product_(k=0)^(infty)(1+q^(2k+1))

(25)

= 1+q+q^3+q^4+q^5+q^6+q^7+2q^8+...

(26)

(OEIS A000700; Berndt 1985, p. 37).

different phi function is sometimes defined as

(27)

where theta_i(0,q) is again a Jacobi theta function, which has special value

(28)


REFERENCES:

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part III. New York: Springer-Verlag, 1985.

Berndt, B. C.; Huang, S.-S.; Sohn, J.; and Son, S. H. "Some Theorems on the Rogers-Ramanujan Continued Fraction in Ramanujan's Lost Notebook." Trans. Amer. Math. Soc. 352, 2157-2177, 2000.

Mc Laughlin, J.; Sills, A. V.; and Zimmer, P. "Dynamic Survey DS15: Rogers-Ramanujan-Slater Type Identities." Electronic J. Combinatorics, DS15, 1-59, May 31, 2008. http://www.combinatorics.org/Surveys/ds15.pdf.

Sloane, N. J. A. Sequences A000122, A000700/M0217, A010054, and A010815 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.