المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
التربة المناسبة لزراعة الفجل
2024-11-24
مقبرة (انحور خعوي) مقدم رب الأرضين في مكان الصدق في جبانة في دير المدينة
2024-11-24
اقسام الأسارى
2024-11-24
الوزير نفررنبت في عهد رعمسيس الرابع
2024-11-24
أصناف الكفار وكيفية قتالهم
2024-11-24
الكاهن الأعظم «لآمون» (رعمسيس نخت) وأسرته
2024-11-24


Dyson Mod 27 Identities  
  
1426   05:41 مساءً   date: 22-8-2019
Author : Bailey, W. N.
Book or Source : "Some Identities in Combinatory Analysis." Proc. London Math. Soc. 49
Page and Part : ...


Read More
Date: 19-5-2018 1626
Date: 25-9-2019 2350
Date: 23-6-2019 1173

Dyson Mod 27 Identities

 

The Dyson mod 27 identities are a set of four Rogers-Ramanujan-like identities given by

A(q) = 1+sum_(n=1)^(infty)(q^(n^2)(q^3;q^3)_(n-1))/((q;q)_n(q;q)_(2n-1))

(1)

= ((q^(12),q^(15),q^(27);q^(27))_infty)/((q;q)_infty)

(2)

= 1+q+2q^2+3q^3+5q^4+7q^5+11q^6+15q^7+22q^8+30q^9+...

(3)

B(q) = sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2+n)(q^3;q^3)_n)/((q;q)_n(q;q)_(2n+1))

(4)

= ((q^9;q^9)_infty)/((q;q)_infty)

(5)

= 1+q+2q^2+3q^3+5q^4+7q^5+11q^6+15q^7+22q^8+29q^9+...

(6)

C(q) = sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2+2n)(q^3;q^3)_n)/((q;q)_n(q;q)_(2n+2))

(7)

= ((q^6,q^(21),q^(27);q^(27))_infty)/((q;q)_infty)

(8)

= 1+q+2q^2+3q^3+5q^4+7q^5+10q^6+14q^7+20q^8+27q^9+...

(9)

D(q) = sum_(n=0)^(infty)(q^(n^2+3n)(q^3;q^3)_n)/((q;q)_n(q;q)_(2n+2))

(10)

= ((q^3,q^(24),q^(27);q^(27))_infty)/((q;q)_infty)

(11)

= 1+q+2q^2+2q^3+4q^4+5q^5+8q^6+10q^7+15q^8+19q^9+...

(12)

(OEIS A104501, A104502, A104503, and A104504).

Bailey (1947) systematically studied and generalized Rogers's work on Rogers-Ramanujan type identities in a paper submitted in late 1943. At the time, G. H. Hardy was the editor of the Proceedings of the London Mathematical Society and Hardy had recently taught the young Freeman Dyson in one of his undergraduate classes at Cambridge. He was therefore aware of Dyson's interest in Ramanujan-Rogers-type identities through his rediscovery of the Rogers-Selberg identities. Ignoring the usual convention of keeping the referee anonymous (since as far as Hardy knew, Bailey and Dyson were the only two people in all of England who were interested in Rogers-Ramanujan type identities at the time) and thinking that they would like to be in contact with each other), Hardy asked Dyson to referee Bailey's paper.

A correspondence between Bailey and Dyson ensued. Using the ideas in Bailey's paper, Dyson discovered a number of new Rogers-Ramanujan-type identities, including the four mod 27 identities above. Bailey suggested that Dyson publish his results in a separate paper, but Dyson declined, instead asking Bailey to include these identities in his own paper (with proper attribution to Dyson of course), which is what was done.

Due to the paper shortage caused by World War II, Bailey's paper wasn't published until 1947. Bailey's followup paper (Bailey 1949) was submitted about six months later and once again Dyson refereed it as well as contributed some additional identities.


REFERENCES:

Bailey, W. N. "Some Identities in Combinatory Analysis." Proc. London Math. Soc. 49, 421-435, 1947.

Bailey, W. N, "Identities of the Rogers-Ramanujan type." Proc. London Math. Soc.50, 421-435, 1949.

Mc Laughlin, J.; Sills, A. V.; and Zimmer, P. "Dynamic Survey DS15: Rogers-Ramanujan-Slater Type Identities." Electronic J. Combinatorics, DS15, 1-59, May 31, 2008. http://www.combinatorics.org/Surveys/ds15.pdf.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.