المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية
ENGLISH
آخر المواضيع المضافة

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
أضيف حديثاً
أثر التأثير الاسترجاعي على المناخ The Effects of Feedback on Climate
2024-11-24
عمليات الخدمة اللازمة للجزر
2024-11-24
العوامل الجوية المناسبة لزراعة الجزر
2024-11-24
الجزر Carrot (من الزراعة الى الحصاد)
2024-11-24
المناخ في مناطق أخرى
2024-11-24
أثر التبدل المناخي على الزراعة Climatic Effects on Agriculture
2024-11-24

وثائقيات
العباءة العربية .. إرث الآباء واعتزاز الأبناء
التاريخ / 20-09-2024

مختارات
الدفع بانقضاء الدعوى الجزائية بالعفو العام (العفو التشريعي )
2023-08-23
التعريفات الأجنبية للدعاية
1-8-2022
الاحتياجات العامة المطلوبة لرعاية الأبقار والتحكم في الحالة الصحية للحيوانات عالية الإنتاج
2024-10-27
بداية الكون
2023-04-06
البروتيزات البكترية Bacterial Proteases
29-6-2017
كيف يتحقّق الإخلاص
2024-08-06

Spherical Harmonic  
  
2788   05:37 مساءً   date: 6-8-2019
Author : Abbott, P
Book or Source : "2. Schrödinger Equation." Lecture Notes for Computational Physics 2. http://physics.uwa.edu.au/pub/Computational/CP2/2.Schroedinger.nb.
Page and Part : ...


Read More
Wigner-Eckart Theorem
Date: 16-4-2019 2582
Barnes G-Function
Date: 15-5-2019 3053
Generalized Hyperbolic Functions
Date: 3-6-2019 1533

Spherical Harmonic

The spherical harmonics Y_l^m(theta,phi) are the angular portion of the solution to Laplace's equation in spherical coordinates where azimuthal symmetry is not present. Some care must be taken in identifying the notational convention being used. In this entry, theta is taken as the polar (colatitudinal) coordinate with theta in [0,pi], and phi as the azimuthal (longitudinal) coordinate with phi in [0,2pi). This is the convention normally used in physics, as described by Arfken (1985) and the Wolfram Language (in mathematical literature, theta usually denotes the longitudinal coordinate and phi the colatitudinal coordinate). Spherical harmonics are implemented in the Wolfram Language as SphericalHarmonicY[l, m, theta, phi].

Spherical harmonics satisfy the spherical harmonic differential equation, which is given by the angular part of Laplace's equation in spherical coordinates. Writing F=Phi(phi)Theta(theta) in this equation gives

(Phi(phi))/(sintheta)d/(dtheta)(sintheta(dTheta)/(dtheta))+(Theta(theta))/(sin^2theta)(d^2Phi(phi))/(dphi^2)+l(l+1)Theta(theta)Phi(phi)=0.
(1)

Multiplying by sin^2theta/(ThetaPhi) gives

[(sintheta)/(Theta(theta))d/(dtheta)(sintheta(dTheta)/(dtheta))+l(l+1)sin^2theta]+1/(Phi(phi))(d^2Phi(phi))/(dphi^2)=0.
(2)

Using separation of variables by equating the phi-dependent portion to a constant gives

1/(Phi(phi))(d^2Phi(phi))/(dphi^2)=-m^2,
(3)

which has solutions

Phi(phi)=Ae^(-imphi)+Be^(imphi).
(4)

Plugging in (3) into (2) gives the equation for the theta-dependent portion, whose solution is

Theta(theta)=P_l^m(costheta),
(5)

where m=-l, -(l-1), ..., 0, ..., l-1, l and P_l^m(z) is an associated Legendre polynomial. The spherical harmonics are then defined by combining Phi(phi) and Theta(theta),

Y_l^m(theta,phi)=sqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))P_l^m(costheta)e^(imphi),
(6)

where the normalization is chosen such that

(7)

(Arfken 1985, p. 681). Here, z^_ denotes the complex conjugate and delta_(mn) is the Kronecker delta. Sometimes (e.g., Arfken 1985), the Condon-Shortley phase (-1)^m is prepended to the definition of the spherical harmonics.

The spherical harmonics are sometimes separated into their real and imaginary parts,

Y_l^m^s(theta,phi)=sqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))P_l^m(costheta)sin(mphi)
(8)
Y_l^m^c(theta,phi)=sqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))P_l^m(costheta)cos(mphi).
(9)

The spherical harmonics obey

Y_l^(-l)(theta,phi) = 1/(2^ll!)sqrt(((2l+1)!)/(4pi))sin^lthetae^(-ilphi)
(10)
Y_l^0(theta,phi) = sqrt((2l+1)/(4pi))P_l(costheta)
(11)
Y_l^(-m)(theta,phi) = (-1)^mY^__l^m(theta,phi),
(12)

where P_l(x) is a Legendre polynomial.

Integrals of the spherical harmonics are given by

(13)

where (l_1 l_2 l_3; m_1 m_2 m_3) is a Wigner 3j-symbol (which is related to the Clebsch-Gordan coefficients). Special cases include

int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_0^0(theta,phi)Y^__L^M(theta,phi)sinthetadthetadphi = 1/(sqrt(4pi))
(14)
int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_1^0(theta,phi)Y^__(L+1)^M(theta,phi)sinthetadthetadphi = sqrt(3/(4pi))sqrt(((L+M+1)(L-M+1))/((2L+1)(2L+3)))
(15)
int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_1^1(theta,phi)Y^__(L+1)^(M+1)(theta,phi)sinthetadthetadphi = sqrt(3/(8pi))sqrt(((L+M+1)(L+M+2))/((2L+1)(2L+3)))
(16)
int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_1^1(theta,phi)Y^__(L-1)^(M+1)(theta,phi)sinthetadthetadphi = -sqrt(3/(8pi))sqrt(((L-M)(L-M-1))/((2L-1)(2L+1)))
(17)

(Arfken 1985, p. 700).

SphericalHarmonicsSphericalHarmonicsReIm

The above illustrations show |Y_l^m(theta,phi)|^2 (top), R[Y_l^m(theta,phi)]^2 (bottom left), and I[Y_l^m(theta,phi)]^2 (bottom right). The first few spherical harmonics are

Y_0^0(theta,phi) = 1/21/(sqrt(pi))
(18)
Y_1^(-1)(theta,phi) = 1/2sqrt(3/(2pi))sinthetae^(-iphi)
(19)
Y_1^0(theta,phi) = 1/2sqrt(3/pi)costheta
(20)
Y_1^1(theta,phi) = -1/2sqrt(3/(2pi))sinthetae^(iphi)
(21)
Y_2^(-2)(theta,phi) = 1/4sqrt((15)/(2pi))sin^2thetae^(-2iphi)
(22)
Y_2^(-1)(theta,phi) = 1/2sqrt((15)/(2pi))sinthetacosthetae^(-iphi)
(23)
Y_2^0(theta,phi) = 1/4sqrt(5/pi)(3cos^2theta-1)
(24)
Y_2^1(theta,phi) = -1/2sqrt((15)/(2pi))sinthetacosthetae^(iphi)
(25)
Y_2^2(theta,phi) = 1/4sqrt((15)/(2pi))sin^2thetae^(2iphi)
(26)
Y_3^(-3)(theta,phi) = 1/8sqrt((35)/pi)sin^3thetae^(-3iphi)
(27)
Y_3^(-2)(theta,phi) = 1/4sqrt((105)/(2pi))sin^2thetacosthetae^(-2iphi)
(28)
Y_3^(-1)(theta,phi) = 1/8sqrt((21)/pi)sintheta(5cos^2theta-1)e^(-iphi)
(29)
Y_3^0(theta,phi) = 1/4sqrt(7/pi)(5cos^3theta-3costheta)
(30)
Y_3^1(theta,phi) = -1/8sqrt((21)/pi)sintheta(5cos^2theta-1)e^(iphi)
(31)
Y_3^2(theta,phi) = 1/4sqrt((105)/(2pi))sin^2thetacosthetae^(2iphi)
(32)
Y_3^3(theta,phi) = -1/8sqrt((35)/pi)sin^3thetae^(3iphi).
(33)

Written in terms of Cartesian coordinates,

e^(iphi) = (x+iy)/(sqrt(x^2+y^2))
(34)
theta = sin^(-1)(sqrt((x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)))
(35)
= cos^(-1)(z/(sqrt(x^2+y^2+z^2))),
(36)

so

Y_0^0(theta,phi) = 1/21/(sqrt(pi))
(37)
Y_1^0(theta,phi) = 1/2sqrt(3/pi)z/(sqrt(x^2+y^2+z^2))
(38)
Y_1^1(theta,phi) = -1/2sqrt(3/(2pi))(x+iy)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))
(39)
Y_2^0(theta,phi) = 1/4sqrt(5/pi)((3z^2)/(x^2+y^2+z^2)-1)
(40)
Y_2^1(theta,phi) = -1/2sqrt((15)/(2pi))(z(x+iy))/(x^2+y^2+z^2)
(41)
Y_2^2(theta,phi) = 1/4sqrt((15)/(2pi))((x+iy)^2)/(x^2+y^2+z^2).
(42)

The zonal harmonics are defined to be those of the form

P_l^0(costheta)=P_l(costheta).
(43)

The tesseral harmonics are those of the form

sin(mphi)P_l^m(costheta)
(44)
cos(mphi)P_l^m(costheta)
(45)

for l!=m. The sectorial harmonics are of the form

sin(mphi)P_m^m(costheta)
(46)
cos(mphi)P_m^m(costheta).
(47)



الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





الأخبار الصحية
تفوقت في الاختبار على الجميع.. فاكهة "خارقة" في عالم التغذية
التاريخ / 2024-11-23

الأخبار العلمية
أمين عام أوبك: النفط الخام والغاز الطبيعي "هبة من الله"
التاريخ / 2024-11-23

الساحة الاسلامية
خدمات متعددة يقدمها قسم الشؤون الخدمية للزائرين
التاريخ / 2024-11-22