المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
القيمة الغذائية للثوم Garlic
2024-11-20
العيوب الفسيولوجية التي تصيب الثوم
2024-11-20
التربة المناسبة لزراعة الثوم
2024-11-20
البنجر (الشوندر) Garden Beet (من الزراعة الى الحصاد)
2024-11-20
الصحافة العسكرية ووظائفها
2024-11-19
الصحافة العسكرية
2024-11-19


Prolate Spheroidal Wave Function  
  
1570   03:52 مساءً   date: 23-7-2019
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : "Spheroidal Wave Functions." Ch. 21 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York:...
Page and Part : ...


Read More
Date: 22-4-2019 1865
Date: 30-6-2019 1515
Date: 22-5-2019 1521

Prolate Spheroidal Wave Function

The wave equation in prolate spheroidal coordinates is

 del ^2Phi+k^2Phi=partial/(partialxi_1)[(xi_1^2-1)(partialPhi)/(partialxi_1)]+partial/(partialxi_2)[(1-xi_2^2)(partialPhi)/(partialxi_2)] 
 +(xi_1^2-xi_2^2)/((xi_1^2-1)(1-xi_2^2))(partial^2Phi)/(partialphi^2)+c^2(xi_1^2-xi_2^2)Phi=0,

(1)

where

 c=1/2ak.

(2)

Substitute in a trial solution

 Phi=R_(mn)(c,xi_1)S_(mn)(c,xi_2)cos; sin(mphi)

(3)

 d/(dxi_1)[(xi_1^2-1)d/(dxi_1)R_(mn)(c,xi_1)]-(lambda_(mn)-c^2xi_1^2+(m^2)/(xi_1^2-1))R_(mn)(c,xi_1)=0.

(4)

The radial differential equation is

 d/(dxi_2)[(xi_2^2-1)d/(dxi_2)S_(mn)(c,xi_2)]-(lambda_(mn)-c^2xi_2^2+(m^2)/(xi_2^2-1))R_(mn)(c,xi_2)=0,

(5)

and the angular differential equation is

 d/(dxi_2)[(1-xi_2^2)d/(dxi_2)S_(mn)(c,xi_2)]-(lambda_(mn)-c^2xi_2^2+(m^2)/(1-xi_2^2))S_(mn)(c,xi_2)=0.

(6)

Note that these are identical (except for a sign change). The prolate angular function of the first kind is given by

 S_(mn)^((1))={sum_(r=1,3,...)^inftyd_r(c)P_(m+r)^m(eta)   for n-m odd; sum_(r=0,2,...)^inftyd_r(c)P_(m+r)^m(eta)   for n-m even,

(7)

where P_m^k(eta) is an associated Legendre polynomial. The prolate angular function of the second kind is given by

 S_(mn)^((2))={sum_(r=...,-1,1,3,...)d_r(c)Q_(m+r)^m(eta)   for n-m odd; sum_(r=...,-2,0,2,...)d_r(c)Q_(m+r)^m(eta)   for n-m even,

(8)

where Q_k^m(eta) is an associated Legendre function of the second kind and the coefficients d_r satisfy the recurrence relation

 alpha_kd_(k+2)+(beta_k-lambda_(mn))d_k+gamma_kd_(k-2)=0,

(9)

with

alpha_k = ((2m+k+2)(2m+k+1)c^2)/((2m+2k+3)(2m+2k+5))

(10)

beta_k = (m+k)(m+k+1)+(2(m+k)(m+k+1)-2m^2-1)/((2m+2k-1)(2m+2k+3))c^2

(11)

gamma_k = (k(k-1)c^2)/((2m+2k-3)(2m+2k-1)).

(12)

Various normalization schemes are used for the ds (Abramowitz and Stegun 1972, p. 758). Meixner and Schäfke (1954) use

 int_(-1)^1[S_(mn)(c,eta)]^2deta=2/(2n+1)((n+m)!)/((n-m)!).

(13)

Stratton et al. (1956) use

 ((n+m)!)/((n-m)!)={sum_(r=1,3,...)^(infty)((r+2m)!)/(r!)d_r   for n-m odd; sum_(r=0,2,...)^(infty)((r+2m)!)/(r!)d_r   for n-m even.

(14)

Flammer (1957) uses

 S_(mn)(c,0)={P_n^(m+1)(0)   for n-m odd; P_n^m(0)   for n-m even.

(15)


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Spheroidal Wave Functions." Ch. 21 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 751-759, 1972.

Flammer, C. Spheroidal Wave Functions. Stanford, CA: Stanford University Press, 1957.

Meixner, J. and Schäfke, F. W. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen. Berlin: Springer-Verlag, 1954.

Rhodes, D. R. "On the Spheroidal Functions." J. Res. Nat. Bur. Standards--B. Math. Sci. 74B, 187-209, Jul.-Sep. 1970.

Stratton, J. A.; Morse, P. M.; Chu, L. J.; Little, J. D. C.; and Corbató, F. J. Spheroidal Wave Functions. New York: Wiley, 1956.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.