المرجع الألكتروني للمعلوماتية
القرآن الكريم وعلومه
العقائد الإسلامية
الفقه وأصوله 
الرجال والحديث 
سيرة الرسول وآله 
علوم اللغة العربية 
الأدب العربي 
الأسرة والمجتمع 
الأخلاق والأدعية 
التاريخ 
الادارة والاقتصاد 
علم الفيزياء 
علم الكيمياء 
علم الأحياء 
الرياضيات 
الهندسة المدنية 
الزراعة 
الجغرافية 
القانون 
اللغة الأنكليزية 
الأخبار 
الإعلام 
مكتبة الصور 
أقلام بمختلف الألوان 
إضاءات
مفتاح
أجوبة الإستفتاءات الشرعية
وثائقيات
تاريخ الرياضيات
الرياضيات في الحضارات المختلفة
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات | Hyperbolic Secant |
 1683
 11:43 صباحاً
date: 3-6-2019 |
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A 
Book or Source : "Hyperbolic Functions." §4.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover 
Page and Part : ...|
Read More
Date: 12-10-2018
1419
Date: 6-8-2019
2007
Date: 25-3-2019
1619
|
 |
 |
The hyperbolic secant is defined as
 |
 |
 |
(1) |
 |
 |
 |
(2) |
where 
is the hyperbolic cosine. It is implemented in the Wolfram Language as Sech[z].
On the real line, it has a maximum at 
and inflection points at 
(OEIS A091648). It has a fixed point at 
(OEIS A069814).
The derivative is given by
 |
(3) |
where 
is the hyperbolic tangent, and the indefinite integral by
![intsechzdz=2tan^(-1)[tanh(1/2z)]+C,](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HyperbolicSecant/NumberedEquation2.gif) |
(4) |
where 
is a constant of integration.
has the Taylor series
 |
 |
 |
(5) |
 |
 |
 |
(6) |
(OEIS A046976 and A046977), where 
is an Euler number and 
is a factorial.
Equating coefficients of 
, 
, and 
in the Ramanujan cos/cosh identity
![[1+2sum_(n=1)^infty(cos(ntheta))/(cosh(npi))]^(-2)+[1+2sum_(n=1)^infty(cosh(ntheta))/(cosh(npi))]^(-2)=(2Gamma^4(3/4))/pi](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HyperbolicSecant/NumberedEquation3.gif) |
(7) |
gives the amazing identities
![sum_(n=1)^inftysech(pin)=1/2{(sqrt(pi))/([Gamma(3/4)]^2)-1}
sum_(n=1)^inftyn^4sech(pin)=(18[Gamma(3/4)]^2)/(sqrt(pi))[sum_(n=1)^inftyn^2sech(pin)]^2
sum_(n=1)^inftyn^8sech(pin)=(168[Gamma(3/4)]^2)/(sqrt(pi))[sum_(n=1)^inftyn^2sech(pin)]×sum_(n=1)^inftyn^6sech(pin)-(63000[Gamma(3/4)]^6)/(pi^(3/2))[sum_(n=1)^inftyn^2sech(pin)]^4.](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HyperbolicSecant/NumberedEquation4.gif) |
(8) |
REFERENCES:
Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Hyperbolic Functions." §4.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 83-86, 1972.
Jeffrey, A. "Hyperbolic Identities." §2.5 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 117-122, 2000.
Sloane, N. J. A. Sequences A046976, A046977, A069814, and A091648 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Hyperbolic Secant 
and Cosecant 
Functions." Ch. 29 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 273-278, 1987.
Zwillinger, D. (Ed.). "Hyperbolic Functions." §6.7 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 476-481 1995.
|
|
|
|
علامات بسيطة في جسدك قد تنذر بمرض "قاتل"
|
|
|
|
|
|
|
أول صور ثلاثية الأبعاد للغدة الزعترية البشرية
|
|
|
|
|
|
|
مكتبة أمّ البنين النسويّة تصدر العدد 212 من مجلّة رياض الزهراء (عليها السلام)
|
|
|
