In 1757, V. Riccati first recorded the generalizations of the hyperbolic functions defined by

(1)

for , ..., , where  is complex, with the value at  defined by

(2)

This is called the -hyperbolic function of order  of the th kind. The functions  satisfy

(3)

where

{0 k!=r, 0<=k<=n-1,; 1 k=r. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GeneralizedHyperbolicFunctions/NumberedEquation4.gif" style="height:41px; width:198px" />

(4)

In addition,

{F_(n,r-1)^alpha(x) for 0<r<=n-1; alphaF_(n,n-1)^alpha(x) for r=0. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GeneralizedHyperbolicFunctions/NumberedEquation5.gif" style="height:46px; width:261px" />

(5)

The functions give a generalized Euler formula

(6)

Since there are  th roots of , this gives a system of  linear equations. Solving for  gives

(7)

where

(8)

is a primitive root of unity.

The Laplace transform is

(9)

The generalized hyperbolic function is also related to the Mittag-Leffler function  by

			(10)
			(11)

The values  and  give the exponential and circular/hyperbolic functions (depending on the sign of ), respectively.

			(12)
			(13)

In particular

			(14)
			(15)
			(16)

For , the first few functions are

			(17)
			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
			(23)
			(24)
			(25)
			(26)

REFERENCES:

Kaufman, H. "A Biographical Note on the Higher Sine Functions." Scripta Math. 28, 29-36, 1967.

Muldoon, M. E. and Ungar, A. A. "Beyond Sin and Cos." Math. Mag. 69, 3-14, 1996.

Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.

Ungar, A. "Generalized Hyperbolic Functions." Amer. Math. Monthly 89, 688-691, 1982.

Ungar, A. "Higher Order Alpha-Hyperbolic Functions." Indian J. Pure. Appl. Math. 15, 301-304, 1984.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

جامعة النهرين: حفل تخرج طالبات الجامعات العراقية يعزز الجمع بين العلم والأخلاق في المجتمع العراقي

جامعة الكوفة: حفل التخرج المركزي يعكس صورة مشرقة للاحتفالات الجامعية الهادفة

جامعة كربلاء: حفل التخرج المركزي مشروع وطني يسهم في تعزيز روح الانتماء للعراق

العتبة العباسية المقدسة تختتم فعاليات حفل التخرج المركزي لطالبات الجامعات العراقية العاشر

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف أفضل مكمل غذائي لتحسين المزاج ودعم الصحة النفسية

دراسة جديدة تكشف أضرار الأطعمة الجاهزة على القلب ؟

6 أطعمة طبيعية تهدئ الزكام دون أدوية.. تعرف عليهم

ماذا يحدث لأعراض الزكام عند تناول الثوم بانتظام؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ابتكار ثوري في بطاريات السيارات الكهربائية.. سعة أعلى 4 مرات

ماذا يحدث لجسمك عند شرب الماء الساخن يوميا؟

7 فوائد "خفية" لشرب شاي الكركديه كل يوم

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

المزيد