Heaviside Step Function

The Heaviside step function is a mathematical function denoted , or sometimes  or  (Abramowitz and Stegun 1972, p. 1020), and also known as the "unit step function." The term "Heaviside step function" and its symbol can represent either a piecewise constant function or a generalized function.

 

 

When defined as a piecewise constant function, the Heaviside step function is given by

{0 x<0; 1/2 x=0; 1 x>0 " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HeavisideStepFunction/NumberedEquation1.gif" style="height:70px; width:115px" />

(1)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 1020; Bracewell 2000, p. 61). The plot above shows this function (left figure), and how it would appear if displayed on an oscilloscope (right figure).

When defined as a generalized function, it can be defined as a function  such that

(2)

for  the derivative of a sufficiently smooth function  that decays sufficiently quickly (Kanwal 1998).

The Wolfram Language represents the Heaviside generalized function as HeavisideTheta, while using UnitStep to represent the piecewise function Piecewise[{" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HeavisideStepFunction/Inline7.gif" style="height:15px; width:5px" />{" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HeavisideStepFunction/Inline8.gif" style="height:15px; width:5px" />1, x >= 0}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HeavisideStepFunction/Inline9.gif" style="height:15px; width:5px" />}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HeavisideStepFunction/Inline10.gif" style="height:15px; width:5px" />] (which, it should be noted, adopts the convention  instead of the conventional definition ).

The shorthand notation

(3)

is sometimes also used.

The Heaviside step function is related to the boxcar function by

(4)

and can be defined in terms of the sign function by

(5)

The derivative of the step function is given by

(6)

where  is the delta function (Bracewell 2000, p. 97).

The Heaviside step function is related to the ramp function  by

(7)

and to the derivative of  by

(8)

The two are also connected through

(9)

where  denotes convolution.

Bracewell (2000) gives many identities, some of which include the following. Letting  denote the convolution,

(10)

			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

In addition,

			(15)
		{H(x+b/a) a>0; H(-x-b/a) a<0." src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HeavisideStepFunction/Inline35.gif" style="height:82px; width:124px" />	(16)

The Heaviside step function can be defined by the following limits,

			(17)
			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
		{1/2e^(x/t) for x<=0; 1-1/2e^(-x/t) for x>=0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HeavisideStepFunction/Inline56.gif" style="height:56px; width:148px" />	(23)
			(24)
			(25)
			(26)
			(27)

where  is the erfc function,  is the sine integral,  is the sinc function, and  is the one-argument triangle function. The first four of these are illustrated above for , 0.1, and 0.01.

Of course, any monotonic function with constant unequal horizontal asymptotes is a Heaviside step function under appropriate scaling and possible reflection. The Fourier transform of the Heaviside step function is given by

			(28)
			(29)

where  is the delta function.

---

REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.

Bracewell, R. "Heaviside's Unit Step Function, ." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 61-65, 2000.

Kanwal, R. P. Generalized Functions: Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, 1998.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Unit-Step  and Related Functions." Ch. 8 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 63-69, 1987.

الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل

تكامل ثلاثي Triple Integration

قاعدة السلسلة Chain Rule

تكامل بالكسور الجزئية Integration by partid Fractions

معادلة خط المستقيم المماس للمنحنى : Equations Of Tangent Lines

قاعدة اشتقاق حاصل ضرب اقترانيين Product Rule of Derivatives

دوال كثيرات الحدود والدوال الكسرية : POLYNOMIALS AND RATIONAL FUNCTIONS

تكامل ثنائي Double Integration

تعريف النهاية : DENFINITION OF LIMIT

نقطة الانعطاف Point Of Inflection

المفاهيم الأساسية للدوال الحقيقية FUNDAMENTAL CONEPT OF REAL FUNCTIONS

تكامل معتل Improper Integral

تفاضل جزئي Partial Differentiation

Minimum

النهايات عند ما لا نهاية : LIMITS AT INFINITY

نقطة الانعطاف الافقي Horizontal Point Of Inflection

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم بين الحرمين يقدم ورشة تدريبية عن صيانة العجلات الكهربائية للملاكات الفنية في مدينة الفردوس

مجموعة مشاتل الكفيل تستقبل طلبة مجموعة العميد التربوية

قسم العلاقات العامة ينظم محاضرة ثقافية لوفد مركز الزهراء (عليها السلام) من ألمانيا

المجمع العلمي يحيي ذكرى ولادة الإمام علي (عليه السلام) في كربلاء

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف أفضل مكمل غذائي لتحسين المزاج ودعم الصحة النفسية

دراسة جديدة تكشف أضرار الأطعمة الجاهزة على القلب ؟

6 أطعمة طبيعية تهدئ الزكام دون أدوية.. تعرف عليهم

ماذا يحدث لأعراض الزكام عند تناول الثوم بانتظام؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ابتكار ثوري في بطاريات السيارات الكهربائية.. سعة أعلى 4 مرات

ماذا يحدث لجسمك عند شرب الماء الساخن يوميا؟

7 فوائد "خفية" لشرب شاي الكركديه كل يوم

دراسة تكشف قدرة الحيتان على سماع الأصوات منخفضة وعالية التردد من مسافة بعيدة

المزيد

مواضيع ذات صلة

مشتق الدوال الثابتة : Differntiation Of Constant Functions

اشتقاق جمع وطرح الدوال : Differentiation of Sums and Differences

معادلة خط المستقيم المماس للمنحنى : Equations Of Tangent Lines

ضبط رموز المشتقات : Notations For Derivatives

تعريف مشتق الدالة عند نقطة : DEFINTION OF DERIVATIVE OF FUNCTION IN POINT

الاشتقاق والتفاضل على (IR) DIFFERENTIATION AND DERIVATIVES IN IR

معادلة خط المستقيم المماس للمنحني : TANGENT LINES

نظرية القيم الوسطى : THE INTERMEDIATE – VALUE THEOREN

القيم العظمى والصغرى : EXTREMA – MAXIMA AND MINIMA

دوال كثيرات الحدود والدوال الكسرية : POLYNOMIALS AND RATIONAL FUNCTIONS

الاستمرارية: continuity

اتصال الدوال والاستمرارية CONTINUITY OF FUNCTIONS