المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05
مـعاييـر تحـسيـن الإنـتاجـيـة
2024-11-05
نـسـب الإنـتاجـيـة والغـرض مـنها
2024-11-05
المـقيـاس الكـلـي للإنتاجـيـة
2024-11-05
الإدارة بـمؤشـرات الإنـتاجـيـة (مـبادئ الإنـتـاجـيـة)
2024-11-05
زكاة الفطرة
2024-11-05


Stirling,s Approximation  
  
1280   11:59 صباحاً   date: 23-5-2019
Author : Feller, W.
Book or Source : "Stirling,s Formula." §2.9 in An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. New York: Wiley
Page and Part : ...


Read More
Date: 12-10-2018 1361
Date: 25-8-2018 2454
Date: 22-4-2019 2459

Stirling's Approximation 

Stirling's approximation gives an approximate value for the factorial function n! or the gamma function Gamma(n) for n>>1. The approximation can most simply be derived for n an integer by approximating the sum over the terms of the factorial with an integral, so that

lnn! = ln1+ln2+...+lnn

(1)

= sum_(k=1)^(n)lnk

(2)

 approx int_1^nlnxdx

(3)

= [xlnx-x]_1^n

(4)

= nlnn-n+1

(5)

 approx nlnn-n.

(6)

The equation can also be derived using the integral definition of the factorial,

 n!=int_0^inftye^(-x)x^ndx.

(7)

Note that the derivative of the logarithm of the integrand can be written

 d/(dx)ln(e^(-x)x^n)=d/(dx)(nlnx-x)=n/x-1.

(8)

The integrand is sharply peaked with the contribution important only near x=n. Therefore, let x=n+xi where xi<<n, and write

ln(x^ne^(-x)) = nlnx-x

(9)

= nln(n+xi)-(n+xi).

(10)

Now,

ln(n+xi) = ln[n(1+xi/n)]

(11)

= lnn+ln(1+xi/n)

(12)

= lnn+xi/n-1/2(xi^2)/(n^2)+...,

(13)

so

ln(x^ne^(-x)) = nln(n+xi)-(n+xi)

(14)

= nlnn+xi-1/2(xi^2)/n-n-xi+...

(15)

= nlnn-n-(xi^2)/(2n)+....

(16)

Taking the exponential of each side then gives

x^ne^(-x)  approx e^(nlnn)e^(-n)e^(-xi^2/2n)

(17)

= n^ne^(-n)e^(-xi^2/2n).

(18)

Plugging into the integral expression for n! then gives

n!  approx int_(-n)^inftyn^ne^(-n)e^(-xi^2/2n)dxi

(19)

 approx n^ne^(-n)int_(-infty)^inftye^(-xi^2/2n)dxi.

(20)

Evaluating the integral gives

n!  approx n^ne^(-n)sqrt(2pin)

(21)

= sqrt(2pi)n^(n+1/2)e^(-n)

(22)

(Wells 1986, p. 45). Taking the logarithm of both sides then gives

lnn!  approx nlnn-n+1/2ln(2pin)

(23)

= (n+1/2)lnn-n+1/2ln(2pi).

(24)

This is Stirling's series with only the first term retained and, for large n, it reduces to Stirling's approximation

 lnn! approx nlnn-n.

(25)

Taking successive terms of |_n^n/n!_|, where |_x_| is the floor function, gives the sequence 1, 2, 4, 10, 26, 64, 163, 416, 1067, 2755, ... (OEIS A055775).

Stirling's approximation can be extended to the double inequality

 sqrt(2pi)n^(n+1/2)e^(-n+1/(12n+1))<n!<sqrt(2pi)n^(n+1/2)e^(-n+1/(12n))

(26)

(Robbins 1955, Feller 1968).

Gosper has noted that a better approximation to n! (i.e., one which approximates the terms in Stirling's series instead of truncating them) is given by

 n! approx sqrt((2n+1/3)pi)n^ne^(-n).

(27)

Considering n a real number so that lim_(n->0)n^n=1, the equation (27) also gives a much closer approximation to the factorial of 0, 0!=1, yielding sqrt(pi/3) approx 1.02333 instead of 0 obtained with the conventional Stirling approximation.


REFERENCES:

Feller, W. "Stirling's Formula." §2.9 in An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. New York: Wiley, pp. 50-53, 1968.

Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 86-88, 2003.

Robbins, H. "A Remark of Stirling's Formula." Amer. Math. Monthly 62, 26-29, 1955.

Sloane, N. J. A. Sequence A055775 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Stirling, J. Methodus differentialis, sive tractatus de summation et interpolation serierum infinitarium. London, 1730. English translation by Holliday, J. The Differential Method: A Treatise of the Summation and Interpolation of Infinite Series. 1749.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 45, 1986.

Whittaker, E. T. and Robinson, G. "Stirling's Approximation to the Factorial." §70 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 138-140, 1967.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.