المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
تربية الماشية في جمهورية مصر العربية
2024-11-06
The structure of the tone-unit
2024-11-06
IIntonation The tone-unit
2024-11-06
Tones on other words
2024-11-06
Level _yes_ no
2024-11-06
تنفيذ وتقييم خطة إعادة الهيكلة (إعداد خطة إعادة الهيكلة1)
2024-11-05


Gaussian Integer  
  
1083   11:41 صباحاً   date: 24-10-2018
Author : Artin, M
Book or Source : Algebra. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991.
Page and Part : ...


Read More
Date: 1-11-2018 280
Date: 17-11-2018 393
Date: 23-11-2018 438

Gaussian Integer

A Gaussian integer is a complex number a+bi where a and b are integers. The Gaussian integers are members of the imaginary quadratic field Q(sqrt(-1)) and form a ring often denoted Z[i], or sometimes k(i) (Hardy and Wright 1979, p. 179). The sum, difference, and product of two Gaussian integers are Gaussian integers, but (a+bi)|(c+di) only if there is an e+fi such that

 (a+bi)(e+fi)=(ae-bf)+(af+be)i=c+di

(1)

(Shanks 1993).

Gaussian integers can be uniquely factored in terms of other Gaussian integers (known as Gaussian primes) up to powers of i and rearrangements.

The units of Z[i] are +/-1 and +/-i.

One definition of the norm of a Gaussian integer is its complex modulus

 |a+ib|=sqrt(a^2+b^2).

(2)

Another common definition (e.g., Herstein 1975; Hardy and Wright 1979, p. 182; Artin 1991; Dummit and Foote 2004) defines the norm of a Gaussian integer to be

 n(a+ib)=a^2+b^2,

(3)

the square of the above quantity. (Note that the Gaussian integers form a Euclidean ring, which is what makes them particularly of interest, only under the latter definition.) Because of the two possible definitions, caution is needed when consulting the literature.

The probability that two Gaussian integers a and b are relatively prime is

 P_(Gaussian)((a,b)=1)=6/(pi^2K)=0.66370...

(4)

(OEIS A088454), where K is Catalan's constant (Pegg; Collins and Johnson 1989; Finch 2003, p. 601).

Every Gaussian integer is within |n|/sqrt(2) of a multiple of a Gaussian integer n.

GaussianIntegerRoots

The plots above show roots RadicalBox[g, r] of the Gaussian integers for various rational values of r (Trott 2004, p. 24).


REFERENCES:

Artin, M. Algebra. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991.

Collins, G. E. and Johnson, J. R. "The Probability of Relative Primality of Gaussian Integers." Proc. 1988 Internat. Sympos. Symbolic and Algebraic Computation (ISAAC), Rome (Ed. P. Gianni). New York: Springer-Verlag, pp. 252-258, 1989.

Conway, J. H. and Guy, R. K. "Gauss's Whole Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 217-223, 1996.

Dummit, D. S. and Foote, R. M. Abstract Algebra, 3rd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2004.

Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Rational Integers, the Gaussian Integers, and the Integers of k(rho)" and "Properties of the Gaussian Integers." §12.2 and 12.6 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 178-180 and 182-183, 1979.

Herstein, I. N. Topics in Algebra, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1975.

Pegg, E. Jr. "The Neglected Gaussian Integers." http://www.mathpuzzle.com/Gaussians.html.

Séroul, R. "The Gaussian Integers." §9.1 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 225-234, 2000.

Shanks, D. "Gaussian Integers and Two Applications." §50 in Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 149-151, 1993.

Sloane, N. J. A. Sequence A088454 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Graphics. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.