Green's theorem is a vector identity which is equivalent to the curl theorem in the plane. Over a region  in the plane with boundary , Green's theorem states

(1)

where the left side is a line integral and the right side is a surface integral. This can also be written compactly in vector form as

(2)

If the region  is on the left when traveling around , then area of  can be computed using the elegant formula

(3)

giving a surprising connection between the area of a region and the line integral around its boundary. For a plane curve specified parametrically as  for , equation (3) becomes

(4)

which gives the signed area enclosed by the curve.

The symmetric for above corresponds to Green's theorem with  and , leading to

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

However, we are also free to choose other values of  and , including  and , giving the "simpler" form

(10)

and  and , giving

(11)

A similar procedure can be applied to compute the moment about the -axis using  and  as

(12)

and about the -axis using  and  as

(13)

where the geometric centroid  is given by  and .

Finally, the area moments of inertia can be computed using  and  as

(14)

using  and  as

(15)

and using  and  as

(16)

REFERENCES:

Arfken, G. "Gauss's Theorem." §1.11 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 57-61, 1985.

Kaplan, W. "Green's Theorem." §5.5 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 286-291, 1991.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

جمعية كشافة الكفيل: المجالس الحسينية تعلّم الفتية قيم نهضة الإمام الحسين (عليه السلام)

عَبرَ المجالس الحسينية.. المجمَع العلمي يقدّم محاضرات دينية وتلاوات قرآنية في بغداد والنجف وميسان

برعاية العتبة العباسية المقدسة.. موكب قناديل السماء يُحيي مراسم اليوم الثالث عشر من المحرّم

بعد انتهاء مراسم ذكرى دفن الأجساد الطاهرة قسم رعاية الصحن يباشر بحملة تنظيف واسعة لصحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

لكبح الجوع وخسارة الوزن.. "سر بسيط" في نظام جوكوفيتش ؟

هل يساعد الرجيم في علاج الأمراض العقلية؟

لحماية أسنان طفلك.. هذا الفيتامين يقلل خطر التسوس

أكل الطعام بسرعة.. طريق سريع إلى أمراض خطيرة

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ما هي أفضل درجة حرارة لتكييف الهواء في السيارة؟

ذوبان الأنهار الجليدية يوقظ "عمالقة نائمة"!

9 يوليو يشهد أقصر يوم في التاريخ المسجل ؟!!

راتبه عشرات ملايين الدولارات.. زوكربرغ يخطف "عقل أبل"

المزيد