Green's theorem is a vector identity which is equivalent to the curl theorem in the plane. Over a region  in the plane with boundary , Green's theorem states

(1)

where the left side is a line integral and the right side is a surface integral. This can also be written compactly in vector form as

(2)

If the region  is on the left when traveling around , then area of  can be computed using the elegant formula

(3)

giving a surprising connection between the area of a region and the line integral around its boundary. For a plane curve specified parametrically as  for , equation (3) becomes

(4)

which gives the signed area enclosed by the curve.

The symmetric for above corresponds to Green's theorem with  and , leading to

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

However, we are also free to choose other values of  and , including  and , giving the "simpler" form

(10)

and  and , giving

(11)

A similar procedure can be applied to compute the moment about the -axis using  and  as

(12)

and about the -axis using  and  as

(13)

where the geometric centroid  is given by  and .

Finally, the area moments of inertia can be computed using  and  as

(14)

using  and  as

(15)

and using  and  as

(16)

REFERENCES:

Arfken, G. "Gauss's Theorem." §1.11 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 57-61, 1985.

Kaplan, W. "Green's Theorem." §5.5 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 286-291, 1991.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

ضمن جهوده المتواصلة.. قسم الشؤون الخدمية ينفذ حملة غسل وتنظيف لمحيط العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يختتم مسابقة نجم الأئمة (عليهم السلام) بنسختها الخامسة في بغداد

المجمع العلمي يواصل الختمة القرآنية الرمضانية المرتلة حفظًا في مقام الإمام المهدي (عجَّل الله فرجه)

الحلقة 26 من جائزة العميد القرآنية تشهد مشاركة 5 قراء من الفتية ضمن المرحلة النهائية

المزيد

الآخبار الصحية

كوب قبل النوم.. مشروب طبيعي يحارب الأرق

دون أدوية.. طريقة طبيعية لخفض ضغط الدم بفعالية مذهلة

المعكرونة ليست عدوك.. كيف تصبح جزءا من وجبة صحية متوازنة؟

دراسة: تناول القهوة يوميا يخفض خطر الإصابة بالاضطرابات النفسية

المزيد

الآخبار التكنلوجية

علماء روس يخططون لبناء منشأة للكشف عن المادة المظلمة

ثاني أكسيد الكربون ليس تهديدا للمناخ فقط.. بل لصحة الإنسان أيضا!

ديدان الأرض تكشف تلوث التربة بالمعادن الثقيلة

خبير أرصاد جوية: ظاهرة النينيو القادمة قد تكون الأقوى خلال 10 سنوات

المزيد