إن القليل الذي ذكرناه عن المنطق غير كاف يقينا، على أن مرمانا الحقيقي يقع في مكان آخر، ويتمثل في إعطاء فكرة عن طبيعة الرياضيات المعاصرة، بصوريتها الكمينة والمتغطرسة معا. ولكي نصف هذا العلم الخاص بالرموز والعلاقات، سوف نبدأ بالرموز.

كل شيء مبني على مبدأ الوسط الممتنع أو الثالث المرفوع excluded middle في أنقى صوره في البداية هناك رمزان متمايزان يرمز لهما بالصفر والواحد (0) (1). كان يمكننا استخدام أي رمزين آخرين، أو نقطة زرقاء ونقطة حمراء - إذا كان هذا الكتاب مطبوعا بالألوان. على أي حال، ما يهم هو التحقق من أن الصفر والواحد هنا ليسا عددين، بل هما رمزان لكن رمزان يمثلان ماذا؟ يمثلان نفسيهما فقط. يقول ديكارت الحاضر الغائب أعطني الصفر والواحد (0,1) وسوف أعطيك فكرا . وحتى لا نذهب بعيدا. دعنا نقل الآن إننا مهتمون فقط بتعريف ماهية الرمز، وأن رمزين اثنين فقط يكفيان لتوليد كل الرموز لنفترض على سبيل التبسيط أننا نمتلك حاسوبا (كومبيوتر). وأن حاسوبنا تحديدا له ذاكرة تستوعب تخزين الرموز الأولية مثل الواحد والصفر (أي الأرقام الثنائية المعروفة باسم بينات bits)، أو تخزين أوتار منها. يتم تزويد الآلة فيزيقيا بكل من الرمزين 0 و1 بواسطة جهد كهربي بين طرفي ترانزستور، بحيث يتخذ الجهد قيمتين مختلفتين. وتنقسم ذاكرة الحاسوب إلى وحدات متنوعة يُستخدم كل منها لغرض معين، ويكون الحاسوب بذلك آلة محدودة لها سعة ذاكرة محدودة - وربما تكون كبيرة جدا.

بالبدء بالرمزين الأوليين 0 1 يمكن بناء رموز (مركبة) أخرى فقط عن طريق كتابة الرمزين السابقين على التتابع بصورة متكررة، وتكون النتيجة سلسلة من الأعداد المكونة من الرقمين الصفر والواحد. مثل (10 11 ,100 ,101 ,110 ,0 ,1000,111,1 ) إلى آخره. كل تتابع طوله متناه، وكذلك يكون المجموع الكلي للأرقام الممكن تخزينها في حاسوبنا (المتناهي) متناهيا بدوره يمكننا بواسطة هذين الرمزين أن نعبر عن تشكيلة من الأفكار كتابة أعداد. تمثيل نقط ودوائر، إجراء عمليات منطقية وحسابية، وهكذا.

وحتى إذا كانت صفوف الرقمين 0 و 1 كافية لأن نبني منها كل علوم الرياضيات، فإن عقلنا بعكس الحاسوب. لا يطمئن إلى بساطتها الرتيبة لهذا السبب سيكون من المناسب مناقشة الرياضيات على مستويين مختلفين أحدهما يصفها كما هي واقعيا، والآخر يصفها كما يجب أن يسمع عنها الإنسان في المنظور الأول ( بالنسبة للحاسوب)، كل شيء يكتب ويُعبر عنه بدلالة الرمزين الأوليين مثل هذه اللغة مناسبة جدا للتفكير المجرد تماما لأن صرامتها الشديدة تحول دون ما يطرحه خيالنا من تفسيرات غير مبررة للرموز. لكن من ناحية أخرى مثل هذه اللغة المنتقاة سرعان ما تصبح مبهمة بالنسبة إلى عقولنا ومن ثم فإننا سوف نتحدث أحيانا كبشر أي «بين بعضنا والبعض الآخر»، أو بين المؤلف والقارئ، بلغة عادية. هدفنا الأول سيكون تعليم نظرية الفئات الأساسية للحاسوب. إلا أننا لن تتبع خطوات جبر المنطق التي وضعها، بول، لأنها - على الرغم من بساطتها الظاهرية - وراء متناول الحاسوب أو أنها بعبارة أخرى لا تزال حدسية للغاية حتى أنه يصعب تشكيلها . إن فئة النساء ذوات الشعر الأسود تمثل شيئا ما بالنسبة إلينا - تصورا ذهنيا أو فكرة - لكنها لا تعني شيئا على الإطلاق بالنسبة إلى الآلة التي لا تفهم معاني الكلمات، خاصة كلمة فئة». يجب أن نبدأ على مستوى أعمق ونعلم الآلة قواعد النحو، معنى هذا أن نعلمها النظرية دون أي إشارة إلى المعنى أو إلى تمثيل حدسي، أو دلالات للألفاظ، باختصار يجب أن تعلم حاسوبنا اللغة الصورية * formal language للنظرية.

سوف تؤدي كل وحدة من وحدات الذاكرة دورا مختلفا ، فهناك وحدة العناصر، ووحدة أسماء الفئات ووحدة الفئات وأيضا وحدة العلامات ووحدة القضايا. وقد توجد هناك وحدات أخرى أيضا، لكن ما لدينا يكفي ما نرومه، وهو توضيح المنهج الصوري. تحتوي وحدة العناصر» على مجموعة ثابتة من الرموز أي من صفوف الرقمين صفر وواحد، وسوف ترمز إليها في ما بيننا بأحرف صغيرة ... إلخ. سوف تتضمن وحدة الذاكرة الخاصة بأسماء الفئات رمزا نفترضه لتسمية الفئة المختزنة في وحدة العناصر هذه الفئة التي يرمز إليها بالحرف E (كما هو معتاد سوف نستخدم الحروف الكبيرة  الكابيتل لترمز إلى الفئات) يمكن اعتبارها فئة شاملة (أو) 1 طبقا لترميز بول، وسوف نستخدمها لتعليم الحاسوب نظرية الفئات بطريقة عملية، أي عن طريق إخباره بالقواعد اللازمة لتناول الرموز المختلفة وتداولها.

تتمثل الخطوة التالية في بناء الفئات الفرعية من E، وهذه في الحقيقة مرحلة بسيطة جدا ثمة أولا الفئات الفرعية أحادية العنصر، وهذا يساوي نسخ محتويات ذاكرة العناصر» في ذاكرة «أسماء الفئات». والآن، نظرا إلى أن وحدة الذاكرة تغيرت فإن العناصر السابقة لم تعد تمثل المفهوم نفسه فهي الآن أصبحت عناصر منفردة singletons كما يسميها الرياضيون، وتكتب على الصورة {a} على سبيل المثال، لترمز إلى فئة عنصرها المنفرد هو a. وبالمنوال نفسه، نحصل على أسماء {a.b} لكل الفئات الفرعية التي تتكون الواحدة منها من عنصرين مميزين)، ثم للفئات الفرعية ثلاثية العناصر وهكذا، حتى تسمى جميع الفئات الفرعية من E، بما فيها الفئة E ذاتها ، ومن الأفضل أن نضع اسما آخر ضمن أسماء الفئات وهو الفئة الفارغة، أو الفئة الخالية من العناصر، ويرمز إليها عادة بالرمز φ (0 في ترميز بول).

 أما في وحدة ذاكرة العلامات، فنقوم بتخزين أربعة رموز فقط هي (فيما بيننا وهي تمثل علاقات معينة بين عناصر أو فئات ويمكن التعبير عن هذه العلاقات بالكلمات الآتية: ينتمي إلى لا ينتمي إلى، متضمنة في، غير متضمنة في على التوالي. على سبيل المثال نكتب  لنبين أن العنصر أو العضو a ينتمي إلى الفئة A يستطيع الحاسوب أن «يفهم» معنى هذه القضية باختبار صحة ما إذا كان العنصر A مندرجا ضمن عناصر الفئة المسماة .A. إذا كان الأمر كذلك، فسوف يوجه الحاسوب حينئذ ليقوم بتخزين تتابع الرموز في وحدة «القضايا»، وإلا فإنه سيكتب  وبالمثل نقول إن الفئة B مُتضمنة في الفئة ، وتكتب على هذه الصورة A B ، إذا كان كل عنصر في B ينتمي أيضا إلى A مرة أخرى، يستطيع الحاسوب أن يتحقق من صحة ذلك التقرير، ويقوم بتخزين أو  (وفق ما تكون الحالة في وحدة ذاكرة «القضايا».

على أن القارئ قد يتساءل: ما هي الافتراضات المتعلقة بالعمليات التي يستطيع الحاسوب تنفيذها؟ الجواب هو أن الحاسوب يخضع للقواعد الأساسية للمنطق الصوري التي وضعها فريغه وبيانو (لكننا لن نناقشها هنا إنما نعترف بهذه الحقيقة فقط لا غير. وبصرف النظر عن ذلك، فإن حاسوبنا ليس أساسيا لعملية البناء، وإنما هو مجرد أداة مناسبة لتوضيح السمة الرمزية الخالصة للمنطق والغياب الكامل لأي تمثيل مرئي.

 ربما تبدو تلك المعلومات الأولية رتيبة ومملة، ومع ذلك فإننا نأمل أن تبين كيف يتم التعبير عن المفاهيم المقدمة حتى الآن بواسطة رموز فقط، من دون مساعدة أي تمثيل حدس ضمني. ويمكننا أن نرى في هذا المثال كيف يمكن لنظرية رياضية أن توضع منهجيا في صورة تنظيم منطقي لرموز، ولا يحتاج معناها إلى تحديد مسبق. يمكن أن تكون العناصر» أسماء طلاب إحدى الجامعات، ويمكن أن تمثل فئة فرعية معينة فريقا لكرة القدم، على أنه من السهولة بمكان أن تكون العناصر ثمار شجرة تفاح والفئة الفرعية هي محتويات سلة. إن الحقائق الوحيدة ذات المعنى في عالم الرموز هي العلاقات بينها.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

اختتام فعاليات مسابقة النور القرآنية الدولية الجامعية في جامعة العميد

قسم الصيانة يُنهي تنصيب منظومة الإنذار المبكّر للحرائق في ثانوية نور العباس (عليه السلام) للبنين

في يومها الثاني.. مسابقة النور القرآنية تواصل فعالياتها في جامعة العميد

السفير التشيكي لدى العراق يشيد بمشاريع العتبة العباسية المقدسة وتطوّرها العمراني

المزيد

الآخبار الصحية

أول إرشادات غذائية قائمة على الأدلة لمعالجة الإمساك المزمن

صباح بلا إفطار؟.. صحتك في خطر!

هل يمكن للجلد أن يكشف عن صحتك العقلية؟.. دراسة حديثة تجيب

السر في مطبخك.. 6 أطعمة تمنح عظامك قوة الشباب

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ناسا تكشف: كوكب الأرض أصبح أقل لمعانا خلال العقود الماضية

دراسة: الوقت الذي تستخدم فيه هاتفك قد يفضح حالتك النفسية

الهنغاري لاسلو كراسناهوركاي يفوز بجائزة نوبل للآداب 2025

رسميا.. إعلان الفائز بجائزة نوبل للسلام لعام 2025

المزيد

مواضيع ذات صلة

مبرهنة عدم الاكتمال لغودل

الواقعية الرياضية

الرياضيات الكلاسيكية

رياضيات العصر الحاضر

Superposition of solutions

Linear differential equations

Imaginary exponents

Complex numbers

Approximating irrational numbers

Abstraction and generalization

The inverse operations

Addition and multiplication