Information Conservation

In both classical and quantum mechanics there is a very precise sense in which information is never lost from a closed isolated system. In classical physics the principle is embodied in Liouville's theorem: the conservation of phase space volume. If we begin following a system with some limited knowledge of its exact state, we might represent this by specifying an initial region Γ(0) in the system's phase space. The region Γ(0) has a volume VΓ in the phase space.

Now we let the system evolve. The region Γ(0) = Γ evolves into the region Γ(t). Liouville's theorem tells us that the volume of Γ(t) is exactly the same as that of Γ. In this sense the amount of information is conserved.

In a practical sense, information is lost because for most cases of interest the region Γ becomes very complicated like a fractal, and if we coarse grain the phase space, it will appear that Γ is growing. As a definition of coarse graining, if one takes every point in the phase space and surrounds it by solid spheres of fixed volume, the union of those spheres is the “coarse grained” volume of phase space, which indeed grows. This is the origin of the second law of thermodynamics. This is illustrated in Figure 1.1.

In quantum mechanics, the conservation of information is expressed as

Fig. 1.1. Evolution of a fixed volume in phase space.

the unitarity of the S-matrix .If we again approach a system with limited knowledge, we might express this by a projection operator onto a subspace, P, instead of a definite state. The analog of the phase space volume is the dimensionality of the subspace

                              N = Tr P

The unitarity of the time evolution insures that N is conserved with time.

A more refined definition of information is provided by the concept of entropy. Suppose that instead of specifying a region Γ in phase space, we instead specify a probability density ρ(p, q) in phase space. A generalization of the volume is given by the exponential of the entropy VΓ → exp S, where

 (1.1)

It is easy to check that if ρ = 1/V_Γ inside Γ and zero outside, then S = log VΓ. Similarly, for quantum mechanics the sharp projector P can be replaced by a density matrix ρ. In this case the fine grained or Von Neumann entropy is

 (1.2)

For the case ρ = P/T_r P the entropy is log N. Thus the entropy is an estimate of the logarithm of the number of quantum states that make up the initial ensemble. In both quantum mechanics and classical mechanics the equations of motion insure the exact conservation of S for a closed, isolated system.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

عباس.. طفل فقد والده فوجد في خدمة زائري عاشوراء وطنًا آمنًا

شعبة الخطابة النسوية تواصل إقامة مجالس العزاء في شهر المحرم الحرام

لليوم الخامس.. العتبة العباسية المقدسة تقيم مجلس عزاء في صحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

قسم الشؤون الفكرية يقيم مجلس عزاء حسيني في العاصمة التنزانية دار السلام

المزيد

الآخبار الصحية

لمن تجاوز الستين.. عليك بشرب 4 أكواب من القهوة يوميا ؟

الحليب مع العسل.. مزيج يمنحك 7 فوائد صحية

لا تبالغ في التنظيف.. قليل من "الاتساخ" قد يحمي عائلتك

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

المزيد

الآخبار التكنلوجية

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

المزيد

مواضيع ذات صلة

الأسرار المتبقية للثقوب السوداء ( نهاية الزمكان أم بوابة لكون آخر؟)

الثقوب الدودية

الثقوب البيضاء

الثقوب السوداء العملاقة

الثقوب السوداء

الثقوب السوداء

الطبيعة المتفردة للجاذبية

يمكن كشف التموجات الناتجة عن تصادم الثقوب السوداء في الفضاء

لماذا ندرس الثقوب السوداء؟

ماذا يحدث عند سقوط ثقب أسود في ثقب أسود؟

إطلاق النفثات

جمال التناظر